连续时间傅里叶级数

引言

  从上一章的学习中,我们知道时域分析方法的基础:

  1. 信号在时域的分解
  2. LTI系统:满足线性、时不变性

  而信号分解的基本信号单元必须满足:

  1. 本身简单,能简便求到 LTI系统的响应
  2. 具有普遍性,能构成广泛的信号

  那么在本节中,我们将从频域来对信号与系统进行分析。而频域分解的基本信号单元也要满足上面两个特点,而显然,“频率”的最简单的函数就是“三角函数”

  我们已经在高数中学过一部分傅里叶变换,但值得注意的是,高数中的傅里叶展开只适用于周期函数,如果要能构成广泛的信号,我们还需要进一步补充。

傅里叶变换的历史

  在傅里叶变换之前,就已经有“泰勒展式”,也就是将函数表示成幂函数。然而,这要求函数必须任意阶可微,而且即使任意阶可微也不一定就行。所以人们就将目光投向三角函数。

  然而“将函数表示成三角函数”是很反直觉的,拉格朗日就提出:

  1. 连续的三角函数怎么可能表示有间断点的函数?
  2. 奇函数$\sin x$ 怎么可能表示偶函数?

  因此,欧拉、达朗贝尔、拉格朗日认为只有少部分函数能表示成三角函数。

  但傅里叶并不这么认为。傅里叶是一个出身低贱,但数学天赋极佳的人。他提出每个函数都能表示为:

  傅里叶的不同之处在于,他认为:不管在区间 $0<x<\pi$ 外怎样,这个级数在 $0<x<\pi$ 上总是等于 $f(x)$。这就是早期数学家所忽视的点。

  经过傅里叶以及后来的数学家的完善,最终形成了美妙的傅里叶分析。

LTI系统对复指数信号的响应

  由第一章信号,我们有一复指数信号:$e^{st}$,$s=r+j\omega$ .

  根据前面的卷积积分,我们知道系统对 $e^{st}$ 的响应可以表示为:

特征函数
如果系统对某一输入信号的响应只是该输入信号乘以一个常数,则称该输入信号是这个系统的特征函数,该常数称为与该信号有关(相对应)的特征值

  显然,$e^{st}$ 是 LTI的特征函数,特征值 $H(s)=\int_{-\infty}^\infty h(\tau) e^{-s\tau}\dif \tau$. 同时,根据 LTI 系统的性质,对于多个复指数信号的组合 $x(t)=a_1e^{s_1t}+a_2e^{s_2t}+a_3e^{s_3t}$,对应的响应为:

  因此,对于任意信号 $x(t)$,如果能表示成 $x(t)=\sum a_ie^{s_it}$ 的形式,并且已知特征值的表达式 $H(s)$,那么就可以求出相应的响应为 $y(t)=\sum a_iH(s_i)e^{s_it}$

  同理,对于离散 LTI 系统,我们也有相同的结论:$x[n]=z^n$ 对应的响应为:

  对于多个复指数的线性组合 $x[n]=\sum_k a_ke^{s_kt}$,对应的输出为 $y(t)=\sum_k a_kH(s_k)e^{s_kt}$

  由于复指数信号很容易求,所以我们就希望能将一般信号分解为复指数信号。

连续时间周期信号的傅里叶级数表示

  我们已经在数学分析中证明过,任意一个周期为 $T_0$ 函数(包括复函数) $f(x)$ 可以展开为傅里叶级数:

  或者用复指数表示为:

其中,我们将 系数 ${a_k}$ 称为 $x(t)$ 的傅里叶级数系数或频谱系数,频率为 $\omega_0$ 的分量为基波,其余 $n\omega_0$ 为谐波。如果以 $k\omega_0$ 为横坐标,${a_k}$ 为纵坐标,就能绘制出 频谱图,比如下图是方波的频谱图:

傅里叶级数的收敛

  虽然给出了傅里叶级数的表示,但并不意味着能求出来。比如有的时候,$a_k\rightarrow \infty$,或者 $\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0t}\rightarrow \infty$,这时显然不能分解为傅里叶级数。

  比较容易看出来的是,满足下面任一条件的信号均能表示为傅里叶级数。

  1. 全部连续的周期信号都有一个傅里叶级数表示
  2. 周期信号在一个周期中具有有限能量 $\int_T \vert x(t) \vert^2 \dif t<\infty$

  我们对上面的条件进行总结和补充,得到 Dirichlet 条件,包括:

条件1 $x(t)$ 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点(即 可去/跳跃)。

条件2 $x(t)$ 在一个周期内逐段单调(只有有限个单调区间)。

  在这里说明一下,书上说的是三个条件(绝对可积、有限单调、有限个第一类间断点),和这里说的是等价的,条件一已经包含了可积了。但书本上有个表述我认为是错误的,即“最大值和最小值数目有限”(125页),一个反例就是方波,方波的最大值显然有无穷多个,但上面我们已经给出了方波的傅里叶级数。所以应该采用条件 2 的表述才准确。

  Dirichlet 是能展开为傅里叶级数的充分不必要条件。有些很特殊的函数虽然不满足狄利克雷条件,依然能展开为傅里叶级数。比如“狄利克雷函数”:

  其傅里叶级数的推导过程参考 the-fourier-series-of-dirichlet-function,最后推导出 $D(x)\sim1$。虽然这个结论很荒谬,但实际上是正确的。

Gibbs 现象

  在间断点附近存在一点,在 $n\rightarrow\infty$ 时,其分解误差收敛于这点上的跳变值的 8.95%. 这就是 Gibbs 吉布斯现象

8.95% 的推导过程:Gibbs Phenomenon

pic08

Gibbs 现象与 Dirichlet 条件不矛盾。因为他俩对“收敛”的定义并不相同,Dirichlet 指的是方均误差相等,跳变点因为宽度为0,所以这点的误差忽略不计;而 Gibbs 指的是逐点收敛,即每个点的误差都要收敛到 0。这两种收敛并不等价。

傅里叶级数的性质

用:

表示 $x(t)$ 与傅里叶级数系数 $a_k$ 的关系。其中傅里叶级数系数:

线性性质

设 $x(t)$ 和 $y(t)$ 的周期同为 $T$,并且:

则其线性组合与级数系数线性组合满足:

证明:

时移性质

证明:

注意到 $\vert e^{-jk\omega_0t_0} \vert=1$,所以 $\vert e^{-jk\omega_0t_0} a_k \vert= \vert a_k \vert$,时移不改变傅里叶级数系数的大小。

反转性质

证明:

尺度变换

尺度变换只会改变基波频率,不改变系数。

相乘

证明:

共轭与共轭对称

证明:

  • 若 $x(t)$ 为实函数,则 $x(t)=x^*(t)$,从而 $a_k=a_{-k}^*$.
  • 若 $x(t)$ 为实偶函数,则 $a_k=a_{-k}$,从而 $a_k=a_{-k}=a_k^*$。即实偶函数的傅里叶级数系数也是实偶函数。
  • 若 $x(t)$ 为实奇函数,则 $a_k=-a_{-k}$,从而 $a_k=-a_{-k}=-a_k^*$,且 $a_0=0$。即实奇函数的傅里叶级数实纯虚奇函数。

从数学上看不直观,口语化解释一下。实数函数,也就意味着 $a_k$ 和 $a_{-k}$ 的虚部要相消,所以 $a_k$ 与 $a_{-k}$ 共轭。

由于实部用欧拉公式展开就是 $\cos$,所以偶函数的傅里叶级数系数是实数;同理,奇函数的傅里叶级数是虚数。


扩展:奇谐与偶谐

有些信号只有奇数次的 $a_k$,比如方波信号,这种就叫奇谐信号;只有偶数次 $a_k$ 的就叫偶谐信号。判断方法:将一个周期分成两半,并将前半个周期平移到后半个周期,如果对称,则为奇谐,如果重合,则为偶谐。

奇谐函数的傅里叶级数不包含偶次谐波如何证明?以及是否存在偶谐函数这种定义?

微分

证明:

积分

证明:

Parseval 定理

证明:

汇总

连续时间傅里叶级数性质

其他

莫名奇妙地查到了一堆傅里叶变换的资料🤦‍♂️