连续时间傅里叶变换的性质

傅里叶变换的性质

我们用 $\F [x(t)]$ 表示求 $x(t)$ 的傅里叶变换,$x(t) \xleftrightarrow{\F} X(j\omega)$ 表示傅里叶变换对。

线性性

证明:

时移

证明:

共轭对称

证明:

  • 若 $x(t)$ 为实函数,$x(t)=x^(t)$,则 $X(j\omega)=X^(-j\omega)$
  • 若 $x(t)$ 为实偶函数,$X(j\omega)=X(-j\omega)=X^*(-j\omega)$,则 $X(j\omega)$ 为实偶函数;
  • 若 $x(t)$ 为实奇函数,$X(j\omega)=-X(-j\omega)=X^*(-j\omega)$,则 $X(j\omega)$ 为虚奇函数。

任何信号可以分解为一个偶信号与奇信号的和:

微分

证明:(分部积分法)

注:$\lim_{t\rightarrow\pm\infty} x(t)=0$

积分

证明:

注:$u(t)\xleftrightarrow{\F}\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}$

尺度变换

证明:

对偶性

证明:

根据对偶性,我们可以由时域变换对频域的影响,求出频域变换对时域的影响。比如:

Paswal定理

证明:

卷积性质

证明:

相乘性质

证明:

总结

连续时间傅里叶变换性质

连续时间傅里叶变换对