连续时间傅里叶变换

连续傅里叶变换

引入

我们考虑一个信号 $\widetilde{x}(t)$ 具有如下性质:

  1. $\widetilde{x}(t)$ 是周期的,并且周期为 $2L$
  2. $L$ 很大
  3. $\widetilde{x}(t)$ 和 $x(t)$ 在 $-L<t<L$ 上具有相同值

那么,当 $L\rightarrow\infty$ 时,可以认为 $\widetilde{x}(t) = x(t)$。

我们先对 $\widetilde{x}(t)$ 进行傅里叶展开:

代入 $a_k$ 的表达式到傅里叶展式中的 $a_k$:

同时对 $k$ 进行如下替换:

$\Delta\omega$ 表示相邻 $\omega_k$ 间的距离。代入傅里叶展式:

当 $L\rightarrow\infty$ 时,$\Delta\omega\rightarrow 0$,$\omega_k\rightarrow\omega$(离散变连续),所以:

注意到,对于任何积分,我们都可以表示成:

那么我们有:

我们将 $X(\omega)$ 称作 $x(t)$ 的 傅里叶变换傅里叶积分频谱(奥本海姆教材中写作 $X(j\omega)$,考试时也这样写)。根据上面一系列的变换,我们可知 $X(\omega)$ 与 $x(t)$ 之间的变换公式为:

这两条公式称 傅里叶变换对,第一条为 傅里叶变换(Fourier transform),第二条为 傅里叶逆变换(inverse Fouriertransform)

最后我们讨论一下 $X(\omega)$ 与 $a_k$ 的关系。如果 $x(t)$ 只在一个周期内等于 $\widetilde{x}(t)$,并且在其他周期为 0,则:

收敛条件

傅里叶变换中 $\lim_{t\rightarrow\pm\infty}e^{-j\omega t}$ 趋向于正无穷,所以 $\lim_{t\rightarrow\pm\infty} x(t)$ 必须趋向于 0,这样才能使 $\lim_{t\rightarrow\pm\infty} x(t)e^{-j\omega t}$ 为有限值。

因此我们有如下定理:

The Fourier integral transform of the function $h(t)$,

will exist if either

Dirichlet Conditions in Fourier Transformation are as follows:

  1. f(x) must absolutely integrable over a period(绝对可积), which is:

  2. f(x) must have a finite number of exterma in any given interval, i.e. there must be a finite number of maxima and minima in the interval(有限区间内最值有限).
  3. f(x) must have a finite number of discontinues in any given interval, however the discontinuity cannot be infinite.(有限区间内有有限第一间断点)

依然强调地是,以上均为充分不必要条件。后面我们会发现某些函数不满足以上条件依然可以进行傅里叶变换。

上面我们已知傅里叶变换为:

我们改变一下积分顺序:

注意到:

从而:

常见信号的傅里叶变换

矩形脉冲信号

为了有更直观的了解,我们在 MATLAB 中模拟求解连续傅里叶变换并作出图像:

t=-1:.01:1; %T1
k=0;
for f=-5:.01:5
    k=k+1;
    X(k)=trapz(t, exp(-j*2*pi*f*t)); %傅里叶变换
    end
f=-5:.01:5;
plot(f,X)

从图中可以看出,矩形脉冲信号的时间越长,带宽越窄,傅里叶变换越“趋近”冲激信号。实际上,冲激信号的一种表示方法就是:$\lim_{\omega\rightarrow\infty} \frac{\omega\sin\omega t}{\pi t}$。

定义:$\rm{sinc}(\theta)=\dfrac{\sin(\pi\theta)}{\pi\theta}$,$\rm{Sa}(\theta)=\dfrac{\sin\theta}{\theta}$。则矩形脉冲信号的傅里叶变换:

补充:如果矩形信号的边缘没这么“直上直下”,那么带宽会变窄。所以如果想要减少电磁干扰,可以通过改变信号边缘的斜率,减小电磁信号的带宽。(不会考,但以后设计会用到)

冲激信号

根据冲激信号的筛选性质,我们有:

这说明冲激信号的傅里叶变换具有所有的频率分量,从这一角度也能说明为什么冲激信号可以用来表示所有信号。

联系上面的矩形脉冲信号,我们可以发现,当矩形脉冲信号的宽度趋向于无穷时,其傅里叶变换类似于冲激信号。所以我们可以认为:冲激与矩形互为傅里叶变换。

表 4-2

周期信号的傅里叶变换

假设有一信号的傅里叶变换表示为:

那么傅里叶逆变换的到该信号为:

我们注意到 $e^{j\omega_0 t}$ 是傅里叶级数的基本信号,那么假如一个周期信号可以展开为傅里叶级数,那么其傅里叶变换可以表示为:

比如对于 $x(t)=\sin(t)$,$X(j\omega)=$