离散时间傅里叶级数

离散时间周期信号的傅里叶级数

离散时间周期信号的傅里叶级数:

$k=\langle N \rangle$ 表示 $k$ 取 $1,2,\cdots N$。这是离散与连续的一大不同。因为 $k=N+1$ 对应的周期函数与 $k=1$ 是同一个。

对两边同时乘以 $e^{-jr(2\pi/N)n}$,然后求和:

所以我们有 离散时间傅里叶级数 为:

以上两条式分别为 综合公式(上) 和 分析公式(下),$a_k$ 称为 频谱系数(spectral coefficient)

一般来说,离散时间傅里叶级数不存在任何收敛问题,因为只有有限个频谱系数。

离散傅里叶级数性质

若 $x[n]$ 是一个周期信号,周期为 $N$,其傅里叶级数系数记为 $a_k$,则记作:

线性性质

证明:

时移性质

证明:

相乘

$x[n],y[n]$ 是周期为 $N$ 的离散函数:

证明:

差分

证明:

Parseval 定理

总结