离散时间傅里叶变换的性质

DTFT 的性质

我们用 $x[n]\xleftrightarrow{\F}X(e^{j\omega})$ 来表示一对 DTFT 对,用 $\F(x[n])$ 表示求 $x[n]$ 的傅里叶变换。

线性性

证明:

时移与频移

证明:

共轭与共轭对称性

证明:

  • 若 $x[n]$ 为实函数,$x[n]=x^*[n]$,则 $X(e^{j\omega})=X^*(e^{-j\omega})$,也就是说,$X(e^{j\omega})$ 的实部是偶函数,虚部是奇函数。
  • 若 $x[n]$ 为实偶函数,$X(e^{j\omega})=X(e^{-j\omega})=X^*(e^{-j\omega})$,则 $X(e^{j\omega})$ 为实偶函数;
  • 若 $x[n]$ 为实奇函数,$X(e^{j\omega})=-X(e^{-j\omega})=X^*(e^{-j\omega})$,则 $X(e^{j\omega})$ 为虚奇函数。

综上,如果 $x[n]$ 是实函数,有如下关系成立:

$\mathcal{Ev}$ 和 $\mathcal{Od}$ 表示 $x[n]$ 的偶部与奇部。

差分和累加

差分:

证明:由前面的线性性和时移性质可证。


累加:

证明:

对偶性

DFS 的对偶性

已知离散傅里叶级数为:

$a_k$ 是以 $N$ 为周期的序列,我们将其看作是一个离散时间信号 $a_n$,则我们再对 $a_n$ 展开成 DFS:

因此,我们有傅里叶级数的对偶性:

利用这个我们可以将时域上的性质变为频域上的性质。以时域卷积为例:

DTFT 与 CFS

已知 $X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] e^{-j\omega n}$,$X(e^{j\omega})$ 是一个周期为 $2\pi$ 的函数,我们将其看作一个连续时间信号 $X(e^{jt})$,则我们可以写出其傅里叶级数:

相比之下,原 $x[n]$ 的综合公式为:

对比上面两个公式,我们有:

总结

离散时间傅里叶级变换性质

离散时间傅里叶级变换对1

离散时间傅里叶级变换对2