离散时间傅里叶变换

离散时间傅里叶变换

与连续傅里叶变换一样,我们同样通过傅里叶级数来推导出傅里叶变换。我们考虑一个信号 $\widetilde{x}[n]$ 具有如下性质:

  1. $\widetilde{x}[n]$ 是周期的,并且周期为 $2N$
  2. $N$ 很大
  3. $\widetilde{x}[n]$ 和 $x[n]$ 在 $-N<t<N$ 上具有相同值

那么,当 $N\rightarrow\infty$ 时,可以认为 $\widetilde{x}[n] = x[n]$。

我们先对 $\widetilde{x}[n]$ 进行傅里叶级数展开:

从而有:

同时对 $k$ 进行如下替换:

$\Delta\omega$ 表示相邻 $\omega_k$ 间的距离。代入傅里叶展式:

当 $N\rightarrow \infty$ 时,$\Delta\omega\rightarrow 0$,$\omega$ 可以看作连续,积分区间变为无穷,即

但是与连续时间傅里叶变换不同的是,$X(e^{j\omega})$ 和 $e^{-j\omega n}$ 都是以 $2\pi$ 为周期,所以 $X(e^{j\omega}) e^{-j\omega n}$ 以 $2\pi$ 为周期,所以我们只需要在任意 $2\pi$ 长的区间内积分:

从上面,我们得到 离散傅里叶变换对

我们这里用 $X(e^{j\omega})$ 是为了突出其周期性。

收敛问题

分析公式中的收敛问题就是级数的收敛问题,因此我们只需要满足 $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \vert x[n]\vert <\infty$ 或 $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \vert x[n]\vert^2 <\infty$,分析公式就收敛。(再次强调,这个依然只是充分不必要条件)

但对于综合公式,由于其积分区间有限,所以不会有收敛问题。

常见离散傅里叶变换

指数阶跃

考虑信号 $x[n]=a^n u[n]$,$\vert a \vert<1$,对应的傅里叶变换为:

矩形脉冲

补充一下计算过程(点击展开) $$ e^{-j\omega}\sum_{n=-N_1}^{N_1} e^{-j\omega n}=\sum_{n=-N_1+1}^{N_1+1} e^{-j\omega n}\\ \sum_{n=-N_1}^{N_1} e^{-j\omega n}=\sum_{n=-N_1}^{N_1} e^{-j\omega n}\\ \begin{align} 两式相减:\sum_{n=-N_1}^{N_1} e^{-j\omega n}&=\frac{e^{-j\omega (N_1+1)}-e^{j\omega N_1}}{e^{-j\omega}-1}\\ &=\frac{e^{-j\omega (N_1+1)}-e^{j\omega N_1}}{e^{-j\omega}-1}\cdot \frac{e^{\frac{1}{2}j\omega}}{e^{\frac{1}{2}j\omega}}\\ &=\frac{e^{-j\omega (N_1+\frac{1}{2})}-e^{j\omega (N_1+\frac{1}{2})}}{e^{-\frac{1}{2}j\omega}-e^{\frac{1}{2}j\omega}}\\ &=\frac{\sin\omega (N_1+\frac{1}{2})}{\sin(\omega/2)} \end{align} $$

阶跃信号

补充一下计算过程(点击展开) $$ u[n]=f[n]+g[n]\\ 其中,f[n]=\frac{1}{2},g[n]=\begin{cases}\frac{1}{2} & n\geq 0 \\ -\frac{1}{2} & n<0\end{cases} $$
对于 $f[n]$,根据下面的离散周期信号 DTFT,求得:
$$ F(e^{j\omega})=\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-2\pi k) $$
对于 $g[n]$,可以借助 $\delta[n]$ 求 DFTF:
$$ \delta[n]=g[n]-g[n-1]\\ \xrightarrow{\mathcal{F}} 1=G(e^{j\omega})-e^{-j\omega}G(e^{j\omega})\\ G(e^{j\omega})=\frac{1}{1-e^{-j\omega}} $$
综上,可以得到:
$$ U(e^{j\omega})=F(e^{j\omega})+G(e^{j\omega})\\ =\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \pi \delta(\omega - 2\pi k) $$

离散周期信号 DTFT

离散时间周期信号的傅里叶级数:

如果我们能将基本信号 $e^{j\omega_0 n}$ 的傅里叶变换求出来,那么就能通过线性性求得离散周期信号的 DTFT(Discrete Time Fourier Transform)。但这个信号并非绝对可积或能量有限,所以不能通过分析公式求(反正我是没求出来)。我们先猜测其傅里叶变换为冲激函数:

为了使 $X(e^{j\omega})$ 在任何 $2\pi$ 区间上的积分都等于 $e^{j\omega_0 n}$,我们对其进行周期性平移:

那么根据线性性,离散周期信号 DTFT 为: