模数转换与数模转换

由于计算机只能处理离散时间信号,如果要处理连续时间信号,需要先进行连续到离散的转换(coutinuous-to-discrete time conversion, C/D转换),然后经过离散系统处理后,再用离散到连续时间转换(discrete-continuous time conversion, D/C转换),得到连续时间信号。

C/D转换又称为模数转换(A/D),D/C转换又称为数模转换(D/A)

下面我们为了区分各个信号,用下列角标:

  • $x_c(t)$ 表示输入的连续信号
  • $x_d[n]$ 表示连续信号经过 C/D 转换得到的离散信号
  • $y_d[n]$ 表示输出的离散信号
  • $y_c(t)$ 表示离散信号经过 D/C 转换得到的连续信号

C/D转换

批注 2020-05-15 151729

我们可以用以下公式表示采样:

在这里强调一点,就是经过采样的信号依然不是离散信号。首先,冲激信号本身就不是离散信号,两个连续信号相乘不能的到离散信号。其次,得到的样本序列的时间轴也不一定是整数的。因此,我们构建一个离散序列 $x_d[n]$,令它满足:

对 $x_p(t)$ 和 $x_d[n]$ 进行傅里叶变换:

上面我们用 $\omega$ 和 $\Omega$ 来区分两个频谱。比较两个傅里叶变换,有:

或者也可以用频域卷积性质来求,同样也能得到 $\omega$ 和 $\Omega$ 的关系:

这个有点类似于傅里叶变换的尺度变换性质:时域上的拉伸 $x_p(nT)$ 对应于频域上的压缩 $X_p(j\Omega/T)$(但少了系数)。冲激采样的频谱是以 $2\pi/T$ 为周期的,而离散傅里叶变换是以 $2\pi$ 为周期的,所以冲激串到离散序列的转换本质上就是尺度变换($\frac{2\pi}{T} \times T=2\pi$)。(如下图)

批注 2020-05-16 102919

$x_p(t)$ 时间轴上原本是以 $T$ 为间隔的,经过这样的变换后,$x_d[n]$ 则是变为了以 $1$ 为间隔。我们将这种变换称为 归一化

D/C转换

将上述步骤逆过来就是能将离散信号转化为连续信号:

批注 2020-05-16 110135

利用离散系统处理连续信号

批注 2020-05-16 111149

C/D转化 与 D/C转换互为逆过程,通过这个我们就能用离散系统处理连续信号,也就是说,上图虚线框中的系统相当于一个线性时不变系统。在这里提出一个问题:$x_c(t)p(t)$ 并不是一个时不变环节,为什么整个系统还能等效为一个线性时不变系统?

将离散系统 $H_d(e^{j\Omega})$ 转换为连续系统,先是进行尺度变换得到 $H_d(e^{j\omega T})$,然后再滤波得到:

下面用具体例子来讨论。

数字微分器

根据傅里叶变换的微分性质,我们知道微分器为:

在这个基础上加上低通滤波就得到带限微分器(图像如下):

批注 2020-05-16 140352

利用 C/D 转换的关系,假如采样频率为 $\omega_s=2\omega_c$,则上面的连续时间频率响应转化为离散时间频率响应为:

批注 2020-05-17 091731