拉普拉斯变换分析

下面来讨论如何利用拉普拉斯分析系统。

系统函数

系统函数一般有如下形式:

批注 2020-06-02 101136

时域上,$r(t)=e(t)*h(t)$,根据拉氏变换的卷积性质,有 $R(s)=E(s)\cdot H(s)$,所以:

如果系统由微分方程表征:

对两边取拉氏变换,可以得到LCCDE描述的系统函数:

我们可以将系统函数改写为:

从而可以得到系统的零点 $z_i$、极点 $p_i$ 和零极点图。

系统联结

LTI系统并联:

LTI系统串联:

LTI系统反馈:

批注 2020-06-02 104736

系统因果性

要求收敛域在收敛轴的右端(右边信号)

系统稳定性

之前说过,稳定性指:有界输入得到有界输出(BIBO)。系统稳定,则必须满足如下充要条件:

证明


在时域上,系统稳定性可以通过 $\int_{-\infty}^{+\infty} \vert h(t)\vert \dif t\leq M$ 判定,对应在 s域要满足:$H(s)$ 的收敛域包含虚轴。如果再要求系统是因果的,则要满足:极点位于左半平面。我们可以通过单位冲激响应来验证这个结论:

批注 2020-06-02 115425

因果系统稳定性判定方法:

  1. 稳定系统:全部极点位于左半平面(不含虚轴),$\lim_{t\rightarrow\infty}h(t)=0$
  2. 不稳定系统:极点位于右半平面,或虚轴上有二阶或以上极点,$\lim_{t\rightarrow\infty}h(t)\rightarrow \infty$
  3. 临界稳定(不稳定)系统:极点位于虚轴,且只有一阶,$\lim_{t\rightarrow\infty}h(t)$ 为非零数值或等幅振荡。

零极点与波形特征

下面用几张gif图来说明系统零极点与 $h(t)$ 的关系。

MATLAB 代码 参考:https://www.jianshu.com/p/cd9501bc810a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
clc;clear;close all;
k=1;
for i = [-0.5:0.1:0 0.2:0.2:0.8]
    set(gcf,'Position',[0,0,500,250], 'color','w');
    b=1; %分子

    a=[1 i]; %分母

    sys=tf(b,a); %构造s域表达式

    subplot(121)
    pzmap(sys) %画 poles zeros map

    axis([-1 1 -1 1])
    subplot(122)
    impulse(b,a) %画 h(t)

    axis([-1 3 -1 5])

    %制作gif

    if i == -0.5
        %首帧,设置样式和大小

        frame = getframe(gcf); % 获取整个窗口内容的图像

        im=frame2im(frame);
        [I{k},map{k}]=rgb2ind(im,8);
        imwrite(I{k},map{k},'1.gif','gif','Loopcount',Inf,'DelayTime',0.4);
    else
        frame = getframe(gcf);% 获取整个窗口内容的图像

        im=frame2im(frame);
        [I{k},map{k}]=rgb2ind(im,8);
        %追加模式

        imwrite(I{k},map{k},'1.gif','gif','WriteMode','append','DelayTime',0.2);
    end
    k=k+1;
end

for i = (k-1):-1:1
    imwrite(I{i},map{i},'1.gif','gif','WriteMode','append','DelayTime',0.2);
end

1

  • $H(s)=\dfrac{1}{s+\alpha} \xleftrightarrow{\L} h(t)=e^{-\alpha t}u(t)$
  • 极点在左实轴 ↔ $h(t)$ 衰减
  • 极点在原点 ↔ $h(t)$ 等幅
  • 极点在右实轴 ↔ $h(t)$ 增长

2

  • $H(s)=\dfrac{\omega_0}{(s+\alpha)^2+\omega_0^2} \xleftrightarrow{\L} h(t)=e^{-\alpha t}\sin(\omega_0 t)u(t)$
  • 极点在左半平面 ↔ $h(t)$ 衰减振荡
  • 极点在虚轴 ↔ $h(t)$ 等幅振荡
  • 极点在右半平面 ↔ $h(t)$ 增长振荡

3

  • 注:图中为二重极点
  • $H(s)=\dfrac{1}{(s+\alpha)^2} \xleftrightarrow{\L} h(t)=te^{-\alpha t}u(t)$
  • 极点在左实轴 ↔ $h(t)$ 衰减
  • 极点在原点 ↔ $h(t)$ 线性增长
  • 极点在右实轴 ↔ $h(t)$ 增长

信号、系统的极点与响应的关系

设激励为 $e(t)$,系统为 $h(t)$,对应的拉氏变换为:$E(s)=\dfrac{A_E(s)}{\prod_{i=1}^m (s-q_i)}$,$H(s)=\dfrac{A_H(s)}{\prod_{i=1}^n (s-p_i)}$

系统的极点 $p_i$ 称为 自然频率固有频率

系统的频率响应

前提:系统是因果稳定系统(极点全部位于左半平面,收敛域包括虚轴)

假设输入信号为 $e(t)=E_m \sin (\omega_0 t)$,$E(s)=\frac{E_m\omega_0}{s^2+\omega_0^2}$,则响应为:

对于稳定系统,其系统函数 $h(t)$ 是随时间衰减,如果要求稳态响应,只要求前两项。先求系数 :

由于 $h(t)$ 是实函数,所以 $H(-j\omega_0)=H^*(j\omega_0)=H_0 e^{-j\phi_0}$(写成幅度与角度的形式),代入上式:

所以稳态响应为:

由零、极点确定频率响应

系统函数写成零、极点的形式就是:

我们将分子、分母写成如下形式:

下面来说明如何在零、极点图上找出 $N_i$,$M_i$,$\psi_i$,$\theta_i$。以零点为例:$j\omega - z_j = N_j e^{j\psi_j}$,而 $z_j$ 是零点,可以在图中找到;$j\omega$ 是频率,可以由我们给定的。因此,由矢量运算,可以得到下图:

可见,只需要将零点(或极点)与虚轴上的特点频率点连接,就能得到 $N_i$,$M_i$,$\psi_i$,$\theta_i$。故我们可以从图中定性地得到频率响应特性,用下面例题来说明。

例题:已知电容的 s域模型为 $\frac{1}{sC}$,电阻的 s域模型为 $R$,现将一个电容、一个电阻串联,输入电压 $V_1(s)$,电阻上输出电压 $V_2(s)$。分析频率响应特性。

解:$H(s)=\dfrac{V_2(s)}{V_1(s)}=\dfrac{s}{s+\frac{1}{RC}}$,$H(j\omega)=\dfrac{V_2(j\omega)}{V_1(j\omega)}=\dfrac{j\omega}{j\omega+\frac{1}{RC}}$
作出零极点图:


而 $\vert H(j\omega) \vert = \frac{N_1}{M_1}$,从图中可以看出,当 $\omega$ 趋近于 0 时,$N_1 \ll M_1$,$\vert H(j\omega) \vert\approx 0$;随着 $\omega$ 增加,$N_1 \approx M_1$,$\vert H(j\omega) \vert\approx 1$。所以这是个高通滤波电路。
$$ \vert H(j\omega) \vert = \frac{N_1}{M_1} =\frac{\omega}{\sqrt{\omega^2+(\frac{1}{RC})^2}} $$