傅里叶变换的模和相位表示

  • 在时域,系统用卷积 $h(t)$ 或 $h[n]$ 描述;
  • 在频域,系统用 $H(j\omega)$ 或 $H(e^{j\omega})$ 来描述。

而时域和频域往往具有相反的关系,比如:时域上是冲激 $\delta(t)$,而频域上则是 $X(j\omega)=1$。但由于频域比较好算,所以我们一般从频域去描述。

傅里叶变换的模和相位表示:

$X(j\omega)$ 和 $X(e^{j\omega})$ 可以表示为:

其中,

LTI系统频率响应的模和相位

LTI系统的输入输出满足:

其中,对相位的变换为:

对相位的变换为:

其中,$ H(j\omega) $ 称为系统的 增益(gain),$\angle H(j\omega)$ 称为系统的 相移(phase shift)

线性与非线性相位

若频率响应为:$H(j\omega)=e^{-j\omega}$,那么:

此时,相移是 $\omega$ 的线性函数。这种系统所产生的输出就是输入的时移:$y(t)=x(t-t_0)$。

对于离散的情况,则额外要求 $H(e^{j\omega})=e^{-j\omega n_0}$ 中的 $n_0$ 为整数,这样才能是线性的。

由上,我们可以得出信号不失真传输的条件:

由于系统对所有信号的增益都相同,所以这样的系统一般称为 全通(all-pass) 系统。

群时延

定义群时延为: $\tau(\omega)=-\frac{\dif}{\dif \omega} { \angle H(j\omega) }$,表示在频率 $\omega$ 附近的一个窄带内的公共时延。

对于非线性相位的系统,

Bode图

Bode图:用对数坐标来表示