载流子的漂移运动与散射

电导的微观理论

欧姆定律的微分形式

$\sigma$ 是电导率,与载流子浓度、载流子的迁移率有关(在下一节推导)。

漂移速度和迁移率

电子在外加电场的作用下产生的定向运动称为漂移运动。设 $\bar{v}_d$ 为平均漂移速度,则电流:

当电场恒定时,电子具有恒定的平均漂移速度,并且大小与电场强度成正比,可以写为:

$\mu$ 为电子的迁移率,单位为 $\mathrm{cm^2/V\cdot s}$,物理意义表示电子在电场作用下做漂移运动的难易程度。所以:

故电导率与载流子浓度、载流子的迁移率有关

半导体的电导率和迁移率

半导体中存在两种载流子:电子n 与 空穴p,所以有两种迁移率:

  1. 对于 n 型半导体:$\sigma=nq\mu_n$
  2. 对于 p 型半导体:$\sigma=pq\mu_p$
  3. 对于本征半导体:$\sigma_i=n_iq(\mu_n+\mu_p)$,$n=p=n_i$

载流子的散射

由于载流子在半导体中运动时,会与晶格原子与杂质离子发生碰撞,碰撞后载流子速度的大小和方向会改变,用波的概念,就是发生的散射。正是由于碰撞的存在,所以漂移速度并不会无穷增大。

平均自由时间

设 $N_0$ 个电子沿某方向运动,在 $t$ 时刻有 $N(t)$ 个电子未受到散射,单位时间内受到散射的次数为 $P$,则:

我们称两次散射之间的时间为平均自由时间(弛豫时间),在 $t$ 时刻,有 $N(t)P\dif t$ 个电子发生散射,则这些散射电子的自由时间就是 $t$,则平均自由时间 $\tau$ 表示为:

$\tau$ 的物理意义是,所有电子从 $t=0$ 开始加速自由运动,平均来说 $t=\tau$ 时受到一次散射。

设 $t=0$ 时电子受到一次散射,初速度为 $v_0$,经过 $t$ 后再次散射,散射前的速度为 $v(t)$,则有:

对所有电子取平均,初速度为0,故有:

从而:

所以迁移率的微观表达式为:

主要的散射机构

散射的根本原因是周期性势场发生破坏,在附加 $\Delta V$ 的作用下使能带中的电子在不同 $k$ 状态间迁移。下面讨论产生附加势场的原因。

电离杂质散射

如图,在库伦力作用下发生弹性散射,我们有:

上式说明:

  1. 杂质浓度越高 $N_i$,散射几率越大;
  2. 温度越高,载流子平均热运动速度越大,散射几率越小。

比方:警察抓小偷,警察越多,小偷越容易抓到;小偷跑得越快,越不容易被抓住。

晶格振动散射

原子在晶格上振荡,我们将这些振动分解为不同的基本波动按照波的叠加原理组合而成,(就像很多弹簧振子叠加),称为 晶格振动波格波 可分为:

  1. 声学波(整体)
    1. 横波
    2. 纵波
  2. 光学波(相对)
    1. 横波
    2. 纵波

对于频率为 $\omega_q$ 的格波,其平均能量 $\bar{E}$ 和 平均声子数 $\bar{n}$ 为:

声子

我们定义一种准粒子 声子,它既有能量和动量。从而我们将电子受晶格振动的散射,转化为电子与声子的散射。(具体的推导请参考固体物理学)

声子散射遵循能量守恒和动量守恒:

$\vec{q}=2\pi/\lambda$ 表示格波的波矢(波长及其传播方向),其能量是量子化的。

声学波散射几率:$P_s \propto T^{3/2}$,$\tau_s \propto T{-3/2}$,$\mu_s\propto T^{-3/2}$

迁移率与浓度、温度的关系

几种散射机构存在时(比如同时有 Si,Ge),$P=P_1+P_2+\cdots$,$\dfrac{1}{\tau}=P=\dfrac{1}{\tau_1}+\dfrac{1}{\tau_2}+\cdots$,$\dfrac{1}{\mu}=\dfrac{1}{\mu_1}+\dfrac{1}{\mu_2}+\cdots$

由公式可以看出,在温度较低时,以电离杂质散射为主,在温度较高时,以声学波散射为主。并且总体是随温度升高,先增加,后减小。

另外,由公式也能看出,当杂质浓度 $N_i$ 越高,电离杂质散射越强,迁移率越低。