电子的运动与有效质量

有效质量

电子本质上是波,但用波计算会非常麻烦,为了能用粒子来计算,我们下面引入有效质量。

半导体中的 $E-k$ 关系(色散关系)

半导体中主要是能带底或顶的电子起作用,所以我们主要研究这些能带极值附近的 $E-k$关系(也叫色散关系)。以一维为例,我们令 $\dif E/\dif k\vert_{k=0}=0$,在 $E(k=0)$ 处泰勒展开 $E(k)$

极值附近的一阶导数为0,所以我们有:

我们人为地将右边部分写成动能的表达式:

其中,$m_n^*$ 定义为 $(\dfrac{1}{\hbar^2}\dfrac{\dif^2 E}{\dif k^2}\Big\vert_{k=0} )^{-1}$,称为能带底电子有效质量,它的单位即质量单位,右下角的$ n$ 是指不同的 $E_n-k$ 关系。由于这是二次导数,$m_n^*$ 越小,导带的曲率越小,能带越窄;同时,有效质量是有正负的向下凹的能带底的 $m_n^*>0$,而向上凸的价带顶的 $m_n^*<0$.

平均速度(群速度)

群速度描述电子在周期性势场中的运动,具体来讲是指介质中能量的传播速度。之前,我们学布洛赫定理时知道,电子的运动可以看作行波的叠加,叠加后的波包的群速就是电子的平均速度。一个波包由一个特定波矢 $k$ 附近的诸波函数组成,则波包群速 $V_g$ 为:

所以群速度等于动量除以有效质量,而因为有效质量有正负,所以群速度也有正负。

加速度

当半导体加上外加电场时,要考虑电子在周期性势场和电场中的运动规律。我们考虑 $\dif t$ 时间内外电场 $\vert E\vert$ 对电子的做功过程:

注意到,$m_n^*$ 定义为 $(\dfrac{1}{\hbar^2}\dfrac{\dif^2 E}{\dif k^2}\Big\vert_{k=0} )^{-1}$,则我们有:

恰好符合牛顿第二定律的描述。

有效质量的意义

我们可以从速度和加速度的公式中可以看出,引入有效质量后,在计算求解半导体电子在外力作用下的运动规律是,可以不涉及到半导体内部周期性势场的作用。

注意由于有效质量是泰勒展开而来,所以只在极值附近有意义。而速度没有依赖泰勒展开,所以在所有地方都有意义。

空穴

绝对零度时,高纯半导体为满价带,此时加上外电场 $F=-q\vert \vec{E}\vert =\hbar \frac{\dif k}{\dif t}$,则 $\frac{\dif k}{\dif t}=\frac{-q\vert \vec{E}\vert }{\hbar}$,说明电子的波矢以相同的速率向左运动,导致群速度为0(对称性)。若有一个电子为空,则群速度不为0,表现出电流,我们设此时电流密度为 $J$:

$J$ 等效为一个带正电的粒子,我们称为 空穴. 其有效质量与电子相反

当温度升高时,电子热激发到导带,同时,价带中产生空穴,两种载流子都可以导电。