麦克斯韦方程组

法拉第电磁感应定律

法拉第电磁感应定律指:通过任意闭合导体回路的磁通发生变化时,回路中会产生感应电动势。用公式表示为:

而感应电动势等于感应电场的环路积分(下标 i 表示 induced):

从而有:

这说明感应电场是由以下两因素引起:

  • $S$ 不随时间变化,磁场变化(感生电动势)
  • $S$ 以速度 $v$ 运动,磁场不变化(动生电动势)

由第一种情况,我们能得到第一种微分形式(静止系统):

上式是麦克斯韦方程组的第二个方程。

对于第二种情况,在 $\Delta t$ 时间内,有:

综合两种情况,从而有第二种微分形式(运动系统):

全电流定律

已知安倍环路定律:

两边取散度运算:

在静态场中,电流的流入等于流出,电荷保持动态平衡,所以 $-\frac{\p \rho}{\p t}=0$,但是在时变场中,$-\frac{\p \rho}{\p t}\neq 0$,有矛盾,所以需要安倍环路定律进行修正。方法也很简单,就是将 $-\frac{\p \rho}{\p t}$ 移到左边:

从而得到 全电流定律

  • $\bd{J}=\sigma \bd{E}$ 称为 传导电流 Conduction Current(有时候会加下标 $\bd{J}_C$)。是由电荷在导体中的运动引起的。此外,电流在真空中运动形成的电流称为 运流电流
  • $\bd{J}_D=\dfrac{\p \bd{D}}{\p t}$ 称为 位移电流 Displacement Current。因为 $\bd{D}=\varepsilon_0 \bd{E}+\bd{P}$,可以看出位移电流是由电场变化引起的。

全电流=传导电流+运流电流+位移电流

海水的电导率为 $\sigma=4 S/m$,$\varepsilon_r=81$,求 $f=1MHz$ 时,传导电流与位移电流的比值。

解:设 $E=E_m\cos\omega t$,则
$$ J_D=\frac{\dif D}{\dif t}=-\omega\varepsilon E_m\sin\omega t\\ J_C=\sigma E=\sigma E_m \cos \omega t\\ \left\vert \frac{J_C}{J_D} \right\vert=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}=\frac{8}{9}\times 10^3 \gg 1 $$
说明此时传导电流为主,可以忽略位移电流。

根据上面例题,我们有:

  • 若 $\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\gg 1$,$J_C \gg J_D$,称为良导体;
  • 若 $\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\ll 1$,$J_C \ll J_D$,称为良介质;
  • 若 $\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\rightarrow \infty$,$J_d\rightarrow 0$,称为理想导体。
  • 若 $\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\rightarrow 0$,$J_D\rightarrow 0$,称为绝缘体。

麦克斯韦方程组

由库伦定律、比奥-萨法尔定律、法拉第电磁感应定律,我们有微分形式的麦克斯韦方程组:

积分形式:

根据微分形式,可以看出,麦克斯韦方程组描述了:电场的旋度、散度性质,磁场旋度、散度性质。同时,描述了时变磁场与时变电场的关系。还描述了空间与时间的关系。这些会在后续学习中深入体会。

限定形式的麦克斯韦方程组

本构关系

麦克斯韦方程组中有 5 个矢量(B,H,E,D,J)和 1 个标量,总共 $5\times3+1=16$ 个标量,但独立方程只有 7 个,需要补 9 个才能确定 16 个变量。

补充方程:媒质的本构关系:

无源区的麦克斯韦方程

由于没有源,即 传导电流 $\bd{J}=0$,自由电荷 $\rho=0$,故有

(例 5-1-6)

例题:同轴线内导体半径 $a=1mm$,外导体半径 $b=4mm$,内外导体之间有均匀介质 $\mu_r=1$,$\varepsilon_r=2.25$,$\sigma=0$。已知内外导体之间:
$$ \bd{E}=\hat{a}_\rho \frac{100}{\rho} \cos(10^8 t-\beta z) \quad \rm{V/m} $$
求:$\beta$,$H$,以及在 $0 \leq z \leq 1$ 的一段同轴线的总位移电流