静电场的能量

静电场的能量

静电场的能量来源于建立系统的电荷分布过程中,将电荷从无穷远的电位零点移到系统,形成电荷分布时外界所做的功。

电荷系统的能量

设最终电荷分布为 $\rho$,电位为 $\phi$。当电荷密度增加到 $\alpha \rho$ 时($0<\alpha<1$,可以看作时间,也可以看作是比例系数),电位为 $\alpha \phi$。对于某体积元上的电荷增量 $\dif \alpha \rho\dif V$ 所做的功为 $\dif W=\alpha\phi\dif \alpha \rho\dif$,从而对于整个空间:

如果是面电荷或线电荷,则只需在面或线上积分。若对于多个导体,由导体的电荷分布可知,其电荷集中在表面,并且内部电位相等,所以:

场量的能量

注:上面最后一条等式是令 $V\rightarrow\infty$,则无穷远处的表面电场为 0,所以那一项为 0.

对于各向同性介质:$W_e = \frac{1}{2} \int_V \vec{E}\cdot\varepsilon \vec{E} \dif V = \frac{1}{2} \int_V \varepsilon \vec{E}^2 \dif V$

能量体密度

静电力

在多个带电导体构成的系统中,很难通过 $\vec{f}=q\vec{E}$ 来计算电场力,因为 $\vec{E}$ 不好算。所以我们用虚位移法来计算。

假设某导体移动了 $\dif g$,并且外部提供的能量等于场能变化和电场对导体做功,即:

想象每个带电体 $k$ 都有一个电源用于补充电荷 $\dif q_k$,则:

我们假设两种极端情况:

  1. 假设各个导体上的电荷 $q_k$ 不变(外界能量补给电荷),则 $0=\dif W_e + f_g \dif g$,从而 $f_g = \left.-\dfrac{\p W_e}{\p g}\right\vert_{q_k=\rm{const}}$
  2. 假设导体上电位 $\phi_k$ 不变(外界能量补给电位),则

    从而 $f_g \dif g$ 和 $\dif W_e$ 都占外界做功的一半,所以 $f_g \dif g = \dif W_e$,从而 $f_g = \left.\dfrac{\p W_e}{\p g}\right\vert_{\phi_k=\rm{const}}$