静电场小结

基础公式

库伦定律:$\vec{F}_{21} = \dfrac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0 R^3} \vec{R}$

电场强度与电位:$\vec{E}=-\nabla\phi$

  电场强度 电位
点电荷
体电荷
面电荷
线电荷

静电场基本方程

本构关系:$\vec{D}=\varepsilon \vec{E}$

泊松方程:$\nabla^2 \phi = -\dfrac{\rho}{\varepsilon}$,特殊地,当无电荷密度时,$\nabla^2 \phi=0$

边界条件

  介质分界面 理想导体分界面
电场/电位移
介质1靠近正方向
电位

场/源

由源求场

  1. 定义:$\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\int_s \dfrac{\rho_s(\vec{r’}) \dif S’}{R^3}\vec{R}$
  2. 高斯定理:$\oint_s \vec{E}\cdot \dif \vec{S}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}$
  3. 电位:$\phi=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_s \dfrac{\rho_s(r’)}{R}\dif S’+C$,电场 $\vec{E}=-\nabla\phi$
  4. 泊松方程+边界条件:$\nabla^2\phi=-\dfrac{\rho}{\varepsilon}$

由场求源

高斯定理的微分形式:

电容

假设电荷

假设电压

静电场能量

对源积分:

  1. 体、面、线电荷

对场积分

静电力