静态场的边值问题

静态场边值问题

静态场的问题分为两大类:

  • 分布型问题:求场求源
  • 边值型问题:由源求场

分布类问题很简单,只需要通过基本方程就能求解(比如:$\rho=\nabla\cdot \bd{D}$,$\bd{J}=\nabla\times \bd{H}$),因此我们主要讨论边值型问题。

对于规则分布的场源,可以用直接积分或高斯定理/安培环路定理来求解。而对于分布不均匀的场,需要借助位函数,通过泊松方程来求解:

而要确定 $\phi$,除了泊松方程外,还需要一定的边界条件。综上,边值问题可以看作是:在给定边界条件下,求泊松方程的解。

边界条件可以分为三类:

  1. 给定边界上的位函数 $\phi \big\vert =f_1(S)$
  2. 给定边界上的位函数的法向导数 $\frac{\p \phi}{\p n} \big\vert=f_2(S)$
  3. 一部分边界给定位函数,一部分给定位函数的法向导数、

唯一性定理

设 $\phi$ 满足拉普拉斯方程:

由格林第一定理:

将三类边界条件代入等号右边都为 0,所以:

唯一性定理说明:边值问题有唯一定解。

静态场的叠加原理

若满足拉普拉斯方程的一系列解,那么可以选定一组系数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$,使得其线性组合 $\phi_\Sigma=a_1\phi+a_2\phi_2+\cdots+a_n\phi_n$ 满足边界条件,从而得到唯一解 $\phi_\Sigma$

若满足泊松方程,则只需要找出一特解即可

边界条件也满足叠加性。比如:

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