镜像法

镜像法

  • 实质:用一个或多个等效电荷代替边界的影响,将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间,从而简化计算。
  • 依据:唯一性定理。等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变,故原来区域中的静电场没有改变。
  • 局限性:仅适用于特殊的边界和特殊分布的电荷。
  • 关键:确定镜像电荷的大小及其位置。

导体平面的镜像

点电荷对无限大接地导体平面的镜像

设无限大 接地 导体平面上 $h$ 处有一点电荷 $q$,其周围是介电常数为 $\varepsilon$ 的介质。其边界条件为:

我们可以用一个 $-q$ 代替原有的导体上的感应电荷,从而将无穷大导体平面撤去。此时,$z\geq0$ 区域的场不变,故有:

因为 $\nabla^2 (\frac{1}{r})=0$(关于这个的讨论:On the Laplacian of 1/r),我们可以简单地写一下证明:

所以,$\nabla^2 \phi=0$,$(r_1\neq0)$,满足原有的条件。

导体球的镜像