边界条件与波动方程

由于麦克思维方程组的微分形式在不同媒质的分界面上不成立(不连续),所以只能用积分形式来推导。

法向边界条件

批注 2020-05-24 185835

作闭合柱面,根据前面的过程(这里就不写了),我们有:

切向边界条件

批注 2020-05-24 190746

作闭合矩形,根据前面的过程(这里就不写了),我们有:


下面对切向磁场进行解释(为什么没有传导电流)。

对磁场进行线积分,有:

总结

总结如下:切向电场强度与法向磁感应强度连续,法向电位移和切向磁场强度不连续。

批注 2020-05-24 190846

理想媒质的边界条件

对于理想导体($\sigma\rightarrow\infty$),$\bd{E}=0$,$\bd{B}=0$。我们把导体看作媒质2,则有:

上式说明:

  • 理想导体表面切向电场和法向磁场为零;
  • 电场总垂直于导体表面,磁场从平行于导体表面
  • 理想导体内不能存在电磁场

(例 5-2-1)

波动方程

在物理种,场量 $u$ 的波动方程标准形式为:

$v$ 是波速,$t$ 是时间,$g$ 是源。波动方程的解为以速度 $v$ 传播的波。我们下面要做的,就是用麦克斯韦方程组,导出类似形式的电磁场波动方程:

无源区的波动方程

在均匀、各向同性的媒质种,麦克斯韦方程组为:

对第二方程求旋度:

代入第一、四方程,得到:

同样可以推出:


在直角坐标系中,拉普拉斯算符可以分解为三个方向的拉普拉斯算符之和,即:

而标量的拉普拉斯算符为:

故有:

有源区的波动方程

设媒质均匀、线性、各向同性,对麦克斯韦方程组的第一、第二方程求导数:

而 $\nabla\times\nabla\bd{F}=\nabla(\nabla\cdot\bd{F})-\nabla^2 \bd{F}$

所以:

电磁波的一般概念

为了方便运算,我们假设 $\bd{E}=\hat{a}_x E_x(z,t)$,那么由波动方程:

这个方程有点复杂,这里直接给出其解的形式:

式中 $f,g$ 是三角函数。先分析 $f$,选定相同相位点:

假如 $t_1 < t_2$,则 $z_1 < z_2$,也就是说,当时间推移时,电磁波 $f$ 向 $+z$ 方向传播。此时,$z_2-z_1=v(t_2-t_1)$,说明传播速度就是 $v$。我们称 $f$ 为入射波(顺行波)。

类似地,电磁波 $g$ 向 $-z$ 方向传播,我们称 $g$ 为反射波(逆行波)。

在真空中,$v=c$