磁感应强度

恒定电流产生的磁场就是恒定磁场,磁铁的磁场是由分子环流所产生的,所以也属于恒定磁场。

磁感应强度

安培力定律

安培经实验证明,通电回路之间有相互作用力。真空中,两个电流元之间的作用力为:

式中,$\mu_0=4\pi\times 10^{-7} \rm{H/m}$ 为真空中的磁导率。

所以两个电流回路间的作用力为:

比奥-萨伐尔定律

将安培力改写为

括号中就是回路 $c_1$ 在空间中产生的磁场,我们称之为 磁感应强度,磁感应强度满足右手定则,即:

上式即 比奥-萨伐尔定律(Biot-Savert),这是实验定律。磁感应强度的单位是 $1\rm{T}=10^4 \rm{Gs}$ 或 $\rm{Wb/m^2}$

我们也可以用电流密度来表示:

可以看出磁感应强度比电场强度更复杂(因为有更多的矢量运算),所以后面我们引入的位函数也会更复杂。

例题:一段长为 $2l$ 的直导线通流 $I$,求空间各点的磁感应强度。

解:以导线中点为原点,导线为 $z$ 轴,建立柱坐标系:

$$ \bd{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{c'} \frac{I\dif \bd{l}'\times \bd{a}_R}{R^2}\\ $$ 根据几何关系,我们可以写出:
$$ \begin{cases} \dif \bd{l}'=\dif \bd{z}'\\ z'=z-\frac{r}{\tan\theta}\\ \dif z'= r\csc^2 \theta\dif \theta\\ \dif \bd{z}'=\bd{a}_z r\csc^2 \theta\dif \theta\\ \bd{a}_R=\bd{a}_r \sin\theta+\bd{a}_z\cos\theta\\ \dif z'\times \bd{a}_R=\bd{a}_\varphi r \csc^2\theta\sin\theta \dif \theta\\ R=r\csc\theta \end{cases} $$ 将上面最后两项代入比奥-萨伐尔定律:
$$ \begin{align} \bd{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{c'} \frac{I\dif \bd{l}'\times \bd{a}_R}{R^2}\\ &=\frac{\mu_0 I}{4\pi} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{r\csc^2\theta\sin\theta\dif \theta}{r^2\csc^2 \theta}\\ &=\frac{\mu_0 I}{4\pi r} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin\theta\dif\theta\\ &=\frac{\mu_0 I}{4\pi r} (\cos\theta_1 - \cos \theta_2) \end{align} $$ 由上可以推出无限长直导线的磁场强度为 $\bd{B}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r} \bd{a}_\varphi$

洛伦兹力

由安培力表达式推出:

所以,磁场对运动电荷的作用力为: