磁场的散度与旋度

磁场的散度

我们一致电流产生的磁场可以表示为:

由于 $\nabla \left( \frac{1}{R} \right) = -\frac{\bd{a}_R}{R^2}$(参考:标量场的梯度),所以我们有:

由于电场是无旋场,所以 $\nabla \times \bd{J} (\bd{r}’)=0$,从而可得:

根据梯旋散,我们有:

可见,磁感应强度是无散的。也就说,对于由电流所产生的磁场,必然不可能存在单独的磁荷(单独的 N 或单独的 S)

磁通连续性定理

磁通
磁通即磁感应强度穿过一个面的通量,即面 $S$ 上的磁通 $\Phi_m$ 定义为:

若 $S$ 是闭合面,则由于磁感应强度是无散的,所以磁通为 0。我们也可以直接从磁感应强度的定义推导出:

对上式进行微分,我们重新得到了前面的公式:

所以磁通量总是连续的,磁感应强度的矢量线是无头无尾的闭合线。比如在磁铁外磁感应强度从 N 指向 S,而在磁铁内部则从 S 指向 N,合在一起就是闭合的。

磁场的旋度

安培环路定理

电场有高斯定理,与之对应的,磁场有 安培环路定理

简单证明

证明如下:任意取一环路,在环路上对磁场强度进行积分:

根据矢量运算法则,有:

我们知道,立体角定义为 $\frac{\dif S \cdot \bd{a}_R}{R^2}$,我们考虑 $C$ 上一点 $P$ 对 $C’$ 的立体角 $\Omega$,当 $P$ 移动 $\dif \bd{l}$ 时,$\Omega$ 变化 $\dif \Omega$。假如不移动 $P$,改为移动 $l’$ 线圈 $\dif \bd{l}$,根据相对性原理,也相当于 $\Omega$ 变化 $\dif \Omega$。也就是说:$\dif \bd{l}\times\dif \bd{l}’=\dif^2 S$,从而$\frac{\bd{a}_R}{R^2} \cdot (\dif \bd{l}\times \dif \bd{l}’)=\dif \Omega$。

下面讨论 $\oint_C \dif \Omega$,当 $P$ 在 $C$ 上转动一圈时,有两种情况:

  • $C$ 与 $C’$ 不相链(两个圈没有相互包围),那么我们有 $\oint_C \dif \Omega=\Omega\Big\vert_P^P=0$
  • $C$ 与 $C’$ 相链,假设 $P$ 点就在 $C’$ 所围成的面上,此时 $\Omega_1=-2\pi$,转一圈后,$P$ 在相反位置,$\Omega_2=2\pi$则 $\oint_C \dif \Omega=\Omega_2-\Omega_1=4\pi$(正负受 $C$ 面的法向量控制,而面的法向量又与边界正方向成右手关系)

所以我们有:

其中,$I$ 是所选环路包围的电流。

适用范围

要用安培环路定理简化计算,必须满足:闭合路径上磁场只有切向分量,并且切向分量大小相等,这样才能将 $\bd{B}$ 提到积分外。所以一般适用于具有对称结构的电流。