# 磁场的散度与旋度

\begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\\ \newcommand{\p}{\partial}\\ \newcommand{\bd}{\boldsymbol} \end{align*}

# 磁场的散度

$\bd{B}(\bd{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}{\int_{V'}} \frac{ \bd{J}(\bd{r}') \times \bd{a}_R}{R^2}\dif V'$

\begin{align} \bd{B}(\bd{r}) &=\frac{\mu_0}{4\pi}{\int_{V'}} \frac{ \bd{J}(\bd{r}') \times \bd{a}_R}{R^2}\dif V'\\ &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \bd{J}(\bd{r}') \times \left[ -\nabla \left(\frac{1}{R} \right) \right] \dif V'\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \left[ \nabla \left(\frac{1}{R} \right) \right] \times \bd{J}(\bd{r}') \dif V'\\ &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \left\{ \nabla \times \left[ \frac{\bd{J}(\bd{r}')}{R} \right]- \frac{1}{R} \nabla \times \bd{J} (\bd{r}') \right\} \dif V' \end{align}

$\bd{B}(\bd{r}) = \nabla \times \left[ \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac{\bd{J}(\bd{r}')}{R} \dif V' \right]$

$\nabla \cdot \bd{B} = 0$

## 磁通连续性定理

$\Phi_m = \int_S \bd{B}\cdot\dif \bd{S}$

\begin{align} \oint_S \bd{B}\cdot\dif \bd{S}&=\oint_S \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{C’} \frac{ I \dif \bd{l}' \times \bd{a}_R}{R^2}\cdot \dif S\\ &=\oint_S -\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{C’} I \dif \bd{l}' \times \nabla(\frac{1}{R})\cdot \dif S\\ &=-\oint_{C'} \frac{\mu_0 I}{4\pi} \dif \bd{l}' \cdot \oint_{S} \nabla(\frac{1}{R})\times \dif S\\ &=-\oint_{C'} \frac{\mu_0 I}{4\pi} \dif \bd{l}' \cdot \oint_{V} \nabla\times\nabla(\frac{1}{R}) \dif V\\ &=0 （梯旋散公式） \end{align}

$\nabla\cdot \bd{B}=0$

# 磁场的旋度

## 安培环路定理

$积分形式：\oint_C \bd{B} \cdot \dif \bd{l} =\mu_0 \sum I\\ \rightarrow\int_S (\nabla \times \bd{B}) \cdot \dif \bd{S} = \mu_0 \int_S \bd{J} \cdot \dif \bd{S} \\ 微分形式：\nabla\times \bd{B} = \mu_0 \bd{J}$

## 简单证明

$\oint_C \bd{B}\cdot\dif \bd{l} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_C \oint_{C'} \frac{I\dif \bd{l}'\times \bd{a}_R}{R^2} \cdot \dif \bd{l}$

\begin{align} &=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint_C \oint_{C'} \frac{\bd{a}_R}{R^2} \cdot (\dif \bd{l}\times \dif \bd{l}')\\ &=\frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint_C \dif \Omega \end{align}

• $C$ 与 $C’$ 不相链（两个圈没有相互包围），那么我们有 $\oint_C \dif \Omega=\Omega\Big\vert_P^P=0$
• $C$ 与 $C’$ 相链，假设 $P$ 点就在 $C’$ 所围成的面上，此时 $\Omega_1=-2\pi$，转一圈后，$P$ 在相反位置，$\Omega_2=2\pi$则 $\oint_C \dif \Omega=\Omega_2-\Omega_1=4\pi$（正负受 $C$ 面的法向量控制，而面的法向量又与边界正方向成右手关系）

$\oint_C \bd{B}\cdot\dif \bd{l} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot 4\pi=\mu_0 I\\ 微分：\nabla\times\bd{B}=\mu_0 \bd{J}$