矢量场的旋度

环量

环量
在矢量场$\vec{A}$ 中,矢量 $\vec{A}$ 沿某一闭合路径的线积分,定义为该矢量沿此闭合路径的环量(circulation),记作:

环量面密度

过点 $P$ 作一微小曲面 $\Delta S$,沿其边界做环量积分,方向符合右手法则,当 $\Delta S \rightarrow P$ 时,存在极限:

则将此极限定义为 环量面密度

旋度

旋度
矢量 $\vec{A}$ 的 旋度(rotation) 记为 $\text{rot} A$定义为:

计算公式:

直角坐标

柱坐标

球坐标

记忆方法还是和前面散度一样的:

其中,$F_1,F_2,F_3$ 就是矢量场的各个分量,$h_1,h_2,h_3$ 是 Lame系数,通俗来讲就是长度元表达式的系数:

  1. 对柱坐标系:$h_1=1, h_2=r, h_3=1$
  2. 对球坐标系:$h_1=1, h_2=r, h_3=r\sin\theta$

旋度的性质:

  1. $\nabla\times \vec{C}=\vec{0}$
  2. $\nabla\times(C\vec{F})=C\nabla\times\vec{F}$
  3. $\nabla\times(\vec{F}\pm\vec{G})=\nabla\times\vec{F} \pm \nabla\times \vec{G}$
  4. $\nabla\times(u\vec{F})=u\nabla\times\vec{F}+\nabla u\times\vec{F}$
  5. $\nabla\cdot(\vec{F}\times\vec{G})=\vec{G}\cdot(\nabla\times\vec{F})-\vec{F}\cdot(\nabla\times\vec{G})$ 证明

重要恒等式

  1. 梯度的旋度恒为0(证明方法:$\dfrac{\p^2u}{\p x\p y}=\dfrac{\p^2u}{\p y\p x})$

  2. 旋度的散度恒为0(证明方法同上)

由上我们可知,如果某个矢量场:

  1. 旋度=0,可表示为标量函数的梯度 $\nabla u$
  2. 散度=0,可表示为矢量函数的旋度 $\nabla\times \vec{A}$

注意 我们可以通过 “梯、旋、散” 来记忆。后面我们统一用 梯旋散公式 指代上面一系列的结论。

斯托克斯公式