矢量场的散度

矢量场

矢量场
在空间的每一点上的场量 $\vec{F}$ 既有大小,也有方向。在物理中,用一种假象的场线来描述矢量场,称为矢量线。矢量线的切线方向即场量方向,矢量线的疏密即场量的大小。每一点有且只有一条矢量线经过。

根据以上定义,有:

从而有:

上式为矢量线在直角坐标系中的微分方程。

矢量的通量(标量)

在矢量场 $\vec{A}$ 中,假设 $\dif \vec{S} = \vec{n} \dif S$ 为一有向曲面的面元矢量,则面元处的矢量 $\vec{A}$ 与面源矢量 $\dif \vec{S}$ 的点积称为 $\vec{A}$ 向 $\vec{n}$ 方向穿过 $\dif S$ 的通量,记作:

一个曲面有两面,我们规定,在闭合曲线(开表面)中, $\vec{n}$ 与 曲线正方向 构成右手螺旋关系;在闭合面中,$\vec{n}$ 指向外面。

我们将所有 $\dif \Phi$ 相加,则 $\vec{A}$ 向正侧穿过曲面 S 的 通量 为:

我们根据 $\Phi$ 的正负,将 $\Phi$ 分为:

  1. $\Phi>0$,正源,$S$ 内有发出通量线的源
  2. $\Phi<0$,负源,$S$ 内有吸收通量的汇
  3. $\Phi=0$,无源,$S$ 内无源无汇或源汇相消

源和汇统称通量源

散度

设矢量场 $\vec{A}$,在场中任一点 $M$ 作一个包含点 $M$ 在内的任一闭合曲面 $S$,$S$ 所限定的体积为 $\Delta V$,当体积以任意方式缩向点 $M$ 时,取极限:

若极限值存在,则此极限称为矢量场在该点的 散度 (divergence) ,记作 $\mathrm{div} \vec{A}$

计算

详细的推导过程可以参考数学分析下第六章的内容。我们直接给出以下结论:

直角坐标系

柱坐标系

球坐标系

柱和球的具体推导就不放上来了,个人感觉放了反而会更懵,还不如死记。当然啦,我自己记忆那么差,是不可能死记的,下面放出我的方法:

其中,$F_1,F_2,F_3$ 就是矢量场的各个分量,$h_1,h_2,h_3$ 是 Lame系数,通俗来讲就是长度元表达式的系数:

  1. 对柱坐标系:$h_1=1, h_2=r, h_3=1$
  2. 对球坐标系:$h_1=1, h_2=r, h_3=r\sin\theta$

我们可以代入算一下,以柱坐标为例:

注意到最后一项中 $r$ 可以提出去,所以最终可以得到上面的结论。

以球坐标为例:

消去前面分母的相应部分,就可以得到原来的式子。这个方法是不是很棒呢!这要感谢知乎大神 宇翔的方法,他给出了这种方法的推导过程,有兴趣的同学可以去看看。


散度的运算法则:

  1. $\nabla\cdot c\vec{A}=c\nabla\vec{A}$(c是常数)
  2. $\nabla\cdot(\vec{A}\pm\vec{B})=\nabla\vec{A}\pm\nabla\vec{B}$
  3. $\nabla u\vec{A}=u\nabla\cdot\vec{A}+A\nabla u$

高斯散度定理

假设 $S$ 是矢量场 $\vec{A}$ 空间内的一个闭合面,$V$ 为闭合面所包围的体积,则有:

证明方法见大一的数学分析。

拉普拉斯算子(补充)

这一部分书上并没有讲,但是在后面会经常用到,所以补充一下。

我们将“梯度的散度”定义为 拉普拉斯算子,记为 $\Delta$ 或 $\nabla^2$,即:

直角坐标系

柱坐标系

球坐标系

利用 Lame 系数,可以写成:

有时候 $\nabla^2$ 也会用于矢量,表示对分量分别求梯度的散度:

拉普拉斯算子具有与梯度与散度类似的性质:

  • 分配律:$\nabla^2(u+v)=\nabla^2 u + \nabla^2 v$
  • $\nabla^2(uv)=u\nabla^2 v+2\nabla u \cdot \nabla v +v\nabla^2 u$
  • $\nabla \times (\nabla\times \vec{F}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{F}) - \nabla^2\vec{F}$