电容

电容与电容器

电容器是由介质隔开的一对导体电极组成的两导体系统。我们定义电容为导体间在电压 $U$ 下所带的电荷 $q$,即:

在介质为线性时,$C$ 是一个与导体形状、位置和介质相关的常数。

对于孤立导体,我们可以将它与无限远处另一导体看作一个电容器。比如真空中的一个孤立球形导体的电容为:

我们求 $C$ 的方法有两种:

  1. $设 q \rightarrow E \rightarrow U \rightarrow q/U \rightarrow C$
    • $\oint \bd{E}\cdot\dif\bd{S}=Q/\varepsilon$
    • $U=\int \bd{E}\cdot\dif\bd{l}$
  2. $设 U \rightarrow E \rightarrow q \rightarrow q/U \rightarrow C$
    • $E=-\nabla U$
    • $E=\rho/\varepsilon$

复杂情况下还要利用电容的串并联来分开求解。

多导体电容

对于 $n$ 个导体组成的系统,在线性介质中,其各自的电位满足:

式中,$\bd[p]$ 称为 电位系数矩阵,$p_{ij}$ 表示导体 $i$(场)受导体 $j$(源)电荷的影响,$p_{ii}$ 称为 自电位系数,$p_{ij}\;(i\neq j)$ 表示 互电位系数。$p_{ij}$ 的含义是:当只有 $q_j$ 带电荷时,导体 $i$ 的电位 $\phi_i$ 与电荷 $q_j$ 之比,即:

电位系数具有 互易性,即 $p_{ij}=p_{ji}$,所以 $[\bd{p}]=[\bd{p}]^T$


类似地,我们可以反过来定义 电容系数矩阵

$\beta_{ij}$ 称为 互感应系数,$\beta_{ii}$ 称为 自感应系数 并且 $\beta{ii}>0$;$\beta_{ij}\;(i\neq j)$ 称为 互感应系数 并且 $\beta{ij}<0$。互感应系数同样具有 互易性,$\beta_{ij}=\beta{ji}$。

将 $q$ 改写为互电压的形式,即:

从而有:

其中,

$U_{i0}$ 指的是导体 $i$ 与参考导体 $0$(通常是地或无穷远)的电势。

求计算多导体电容的方法:

  1. $设不同情况的q\rightarrow 求\phi \rightarrow 求p_{ij} \rightarrow [\bd{\beta}]=[\bd{p}]^{-1} \rightarrow C_{ij}$ (用电位系数矩阵)
  2. $设不同情况的q\rightarrow 求U\rightarrow 联立方程求 C$(用最后一个方程组)