泊松方程与边界条件

泊松方程

高斯定理给出了电场(电位移矢量)与电荷的关系,而泊松方程则给出了电位与电荷的关系:

上式即 泊松方程。特殊地,当电荷密度为 0 时,$\nabla^2 \phi=0$ 称为 拉普拉斯方程,$\nabla^2 = \frac{\p}{\p x^2}+\frac{\p}{\p y^2}+\frac{\p}{\p z^2}$ 称为拉普拉斯算子。对于不同坐标系,拉普拉斯算子分别为:

直角坐标

柱坐标

球坐标

利用 Lame 系数,可以写成:

有时候 $\nabla^2$ 也会用于矢量,表示对分量分别求梯度的散度:

拉普拉斯算子具有与梯度与散度类似的性质:

  • 分配律:$\nabla^2(u+v)=\nabla^2 u + \nabla^2 v$
  • $\nabla^2(uv)=u\nabla^2 v+2\nabla u \cdot \nabla v +v\nabla^2 u$
  • $\nabla \times (\nabla\times \vec{F}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{F}) - \nabla^2\vec{F}$

边界条件

需要对 $\nabla^2 \phi$ 进行两次积分才能求得 $\phi$,这样会产生两个常数 $C_1, C_2$,因此需要两个边界条件。我们通过下面例题来体会:

已知导体球的电位为 $U$(设无穷远处的电位为0),球的半径为 $a$,求球外的电位函数。

答案

解: 以球心为坐标原点建立球坐标系。在 $a\lt r\lt \infty$ 处,电位函数满足拉普拉斯方程,并且在球外电荷密度为 0,所以:
$$ \nabla^2\phi = \frac{1}{r^2}\frac{\p}{\p r}\left(r \frac{\p \phi}{\p r} \right)=0\\ \phi=-\frac{C_1}{r}+C_2 $$
由边界条件:
$$ \begin{cases} \phi(a)=U\\ \phi(\infty)=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} C_2=0\\ C_1=-aU \end{cases} $$ 最终解出: $$ \phi(r)=\frac{aU}{r} \; (a<r<\infty) $$

分界面上的边界条件

进行 $\nabla^2 \phi$ 或 $\nabla\cdot \vec{D}$ 运算的前提是“可微”,若在介质分界面上,则无法进行微分,此时只能用积分形式,而此时的边界条件只能用积分来推导。下面就介绍推导过程。

电位移的边界条件

如图所示,$\vec{D}_1$ 和 $\vec{D}_2$ 对应于介质 $\varepsilon_1$ 和 $\varepsilon_2$ 的电位移矢量。我们取一无穷小的圆柱体,根据对称性,侧面上的通量为0,由高斯通量定理:

说明垂直于分界面上的电位移通量分量之差,等于界面上的自由电荷面密度。若分界面上无自由电荷,则:

此时电位移通量在分界面上连续。

进一步,由电位移矢量与电场、电位的关系:

从而有:

电场强度的边界条件

我们取一极小的闭合矩形路径,对 $E_1$ 和 $E_2$ 做线积分,由于左右的对称形,故积分为 0,从而由闭合路径电场积分为 0:

我们 $\vec{a}_s$ 是垂直纸面向里的向量,即:$\vec{a}_l=\vec{a}_s\times \vec{n}$,同时由矢量恒等式:

从而:

上式说明,电场强度对于界面的切向分量在界面上是连续的,从而分界面上的电位 $\phi=\int E$ 也是连续的。注意的是,这里的连续是切线方向上的连续,上面说的是法线方向上不连续。

理想介质分界面

在两种理想介质分界面上没有自由电荷,即 $\rho_s=0$,则有:

将上两式相除得到:

上式称为静电场的折射定理,即 $\vec{D}$ 和 $\vec{E}$ 矢量在两种介质分界面上要改变方向,除非 $\theta_1=\theta_2=0$(比如平行板、同轴线、同心球中的电场)。

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