时谐变电磁场

时谐电场的复数表示法

与电路类似,如果 $\bd{E}$ 的每个分量都是时间的 余弦函数,则我们令:

用类似的方法定义$ \dot{E}{ym},\dot{E}{zm}$,然后再合成:

$\dot{\bd{E}}_m$ 称为 $\bd{E}(\bd{r},t)$ 的复振幅矢量,为了区分,称 $\bd{E}(\bd{r},t)$ 为瞬时值。复振幅矢量消去了时间分量,因此可以可以简化求导、积分运算,因为:

我们常用有效值 $\db{E}$ 代替最大值 $\db{E}_m$,这两者相差一系数 $\sqrt{2}$

麦克斯韦方程组的复数形式

将 $\mathrm{Re}(\dot{\bd{E}}_m e^{j\omega t})$ 等复数表示代入麦克斯韦方程组,由于 $\mathrm{Re}$,$e^{j\omega t}$ 都可以消去,而 $\nabla$ 运算不影响复数,从而有:

注:$\varepsilon$ 和 $\mu$ 只有在理想介质 $\sigma=0$ 中才是实数。

同理,也可以得到频域波动方程:

坡印廷定理的复数表示

能量密度(最大值):

已知有恒等式: