时变场的位函数

时变场的位函数

将磁矢位代入麦克斯韦方程:

引入标量位函数(动态电位)$\phi$ 满足:

将 $\bd{E}$ 代入电场的散度(电流连续性方程):

将 $\bd{E}$ 代入麦克斯韦第一方程:

对上两式进行展开:

为了使电场对应的位函数唯一,同时也为了方便化简上面的方程,引入洛伦兹规范条件:

将规范代入一式得:

代入二式得:

上两个方程称为非齐次达朗贝尔方程。下面我们来解第一个方程。


非齐次方程得解等于通解加特解。对于齐次方程,我们其解为:

之前说过,$f$ 是入射波,$g$ 是反射波。在无限大均匀介质中 $g=0$

而对于位于原点的点电荷,$\phi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon r}$,则代入齐次解得到 $\phi(\bd{r},t)=\dfrac{q(t-\frac{r}{v})}{4 \pi \varepsilon r}$。将用电荷密度替换点电荷,得到解:

类似地,可以写出动态磁位:

由于场、源不同步,场比源滞后 $\Delta t=\frac{R}{v}$,所以又称为“滞后位”、“推迟势”。

位函数的复数表示

位函数满足如下三个方程:

替换为复数形式:

同理,对法朗贝尔方程替换得到:

其解为:

上式说明场源之间存在 $e^{-jkR}$ 的相位差,相位差与 $k$、$R$ 有关。