恒定磁场

\[\begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\\ \newcommand{\p}{\partial}\\ \newcommand{\bd}{\boldsymbol} \end{align*}\]

矢量磁位

上一节中我们知道,磁感应强度可以写成:

\[\bd{B}(\bd{r}) = \nabla \times \left[ \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac{\bd{J}(\bd{r}')}{R} \dif V' \right]=\nabla\times \bd{A}\]

我们定义 $\bd{A}$ 为矢量磁位(简称:磁矢位或矢量位),单位为 Wb/m。

由于 $\nabla \times (\bd{A}+\nabla\phi)=\nabla \times \bd{A}$,也就是说,同一磁场的磁矢位可以不唯一,于是我们人为规定:

\[库伦规范:\nabla\cdot \bd{A}=0\]

这样就确保了磁矢位的唯一性。而我们推导过程中,中括号那部分是满足库伦规范的,所以我们有:

\[\bd{A}=\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac{\bd{J}(\bd{r}')}{R} \dif V'\\ A_x=\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac{J_x(\bd{r}')}{R} \dif V'\\ A_y=\cdots \quad A_z=\cdots\]

泊松方程

由安培环路定理 $\nabla \times \bd{B}=\mu_0 \bd{J}$ 和磁矢位的定义,我们有:

\[\nabla \times \bd{B} = \nabla\times\nabla\times\bd{A}=\mu_0 \bd{J}\]

根据公式:$\nabla\times\nabla\times \bd{A}=\nabla(\nabla\cdot \bd{A})-\nabla^2 \bd{A}$(证明),同时考虑库伦范式:$\nabla\cdot \bd{A}=0$,我们有:

\[\nabla^2 \bd{A}=-\mu_0 \bd{J}\\ \nabla^2=\dfrac{\p^2}{\p x^2}+\dfrac{\p^2}{\p y^2}+\dfrac{\p^2}{\p z^2}\]

上式就是 磁位的泊松方程,若电流密度为 0,那么就得到拉普拉斯方程 $\nabla^2 \bd{A}=0$。我们进一步在各个方向上展开:

\[\begin{cases} \nabla^2 A_x = -\mu_0 J_x\\ \nabla^2 A_y = -\mu_0 J_y\\ \nabla^2 A_z = -\mu_0 J_z \end{cases}\\\]

磁矢位的作用

尽管磁矢位是一个标量,但其依然能简化运算。因为 $\bd{A}$ 的方向和 $\bd{J}$ 的方向一致,或者说,$\dif \bd{A} \mathrel{/\mskip-2.5mu/} I\dif \bd{l}’$,相比于 $\bd{B} \sim I\bd{l}’\times \bd{a}_R$ 更简单。

此外,磁矢位也能简化磁通计算:

\[\Phi_m = \int_S \bd{B}\cdot\dif\bd{S}=\int_S (\nabla\times \bd{A})\cdot \dif \bd{S}=\oint_C \bd{A}\cdot \dif \bd{l}\]