恒定磁场

矢量磁位

上一节中我们知道,磁感应强度可以写成:

我们定义 $\bd{A}$ 为矢量磁位(简称:磁矢位或矢量位),单位为 Wb/m。

由于 $\nabla \times (\bd{A}+\nabla\phi)=\nabla \times \bd{A}$,也就是说,同一磁场的磁矢位可以不唯一,于是我们人为规定:

这样就确保了磁矢位的唯一性。而我们推导过程中,中括号那部分是满足库伦规范的,所以我们有:

泊松方程

由安培环路定理 $\nabla \times \bd{B}=\mu_0 \bd{J}$ 和磁矢位的定义,我们有:

根据公式:$\nabla\times\nabla\times \bd{A}=\nabla(\nabla\cdot \bd{A})-\nabla^2 \bd{A}$(证明),同时考虑库伦范式:$\nabla\cdot \bd{A}=0$,我们有:

上式就是 磁位的泊松方程,若电流密度为 0,那么就得到拉普拉斯方程 $\nabla^2 \bd{A}=0$。我们进一步在各个方向上展开:

磁矢位的作用

尽管磁矢位是一个标量,但其依然能简化运算。因为 $\bd{A}$ 的方向和 $\bd{J}$ 的方向一致,或者说,$\dif \bd{A} \mathrel{/\mskip-2.5mu/} I\dif \bd{l}’$,相比于 $\bd{B} \sim I\bd{l}’\times \bd{a}_R$ 更简单。

此外,磁矢位也能简化磁通计算: