平面电磁波

平面波与均匀平面波

等相位面(波阵面)
空间相位相同的点构成的面
根据波振面的形状可以分成:平面波、柱面波、球面波

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均匀平面波(UPW)
等相位面上的电场、磁场各点的振幅相同
均匀平面波:$\bd{E}=\hat{a}_x E_0\cos(\omega t - kz)$,非均匀平面波:$\bd{E}=\hat{a}_\theta \frac{E_0}{r}\sin\theta\cos(\omega t - kr)$

下面来写一下均匀平面波的表达式。设 UPW 的传播方向为 $+z$ 方向,按照定义,幅度只与 $z$ 有关:

对应的亥姆霍兹方程:

根据无源区的电场散度:$\nabla\cdot\db{D}=\varepsilon \nabla\cdot\db{E}=0$,将 $\db{E}$ 代入:

第一项 $\bd{E}_0$ 是常矢量,所以散度为 0;而第二项:

上式说明:电场方向($\bd{E}_0$)与传播方向($\hat{a}_z$)垂直

设电场方向为 x 方向,则 $\db{E}=\hat{a}_x \dot{E}_x(z)=\hat{a}_x E_m e^{-jkz}$

根据无源区的Maxwell方程($\bd{J}=0\; \rho=0$):

总结上面一系列的内容:

设 $\db{E}=\hat{a}_x \dot{E}_x(z)=\hat{a}_x E_m e^{-jkz}$,对应的时域表达式:$E_x(z,t)=E_m \cos (\omega t - kz)=E_m \cos \omega (t-\frac{z}{v})$,根据:
$$ \begin{cases} \db{H}=\frac{k}{\omega\mu}\hat{a}_z \times \db{E}\\ \db{E}=-\frac{k}{\omega\mu}\hat{a}_z \times \db{H} \end{cases} $$
可以求得:$\db{H}=\frac{k}{\omega\mu} \hat{a}_z \times \db{E}=\hat{a}_y \frac{k}{\omega\mu} \db{H}_y(z)$,时域表达式为 $H_y(z,t)=\frac{k}{\omega\mu} E_m \cos (\omega t - kz)$

重要参数

表达式 $E_x(z,t)=E_m \cos (\omega t - kz)$ 中,$\omega t$ 是时间相位,$k z$ 是空间相位,有下面几个参数:

  • 周期:时间相位变化 $2\pi$,$\omega t=2\pi$,即 $T=2\pi/\omega$
  • 波长:空间相位变化 $2\pi$,$k z=2\pi$,即 $\lambda=2\pi/k$

此外,还有:

  • 波数 $\beta$:每单位距离改变的相位
    • 无耗媒质中 $\beta=k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=\dfrac{\omega}{v}$$=\dfrac{2\pi}{Tv}=\dfrac{2\pi}{\lambda}$
    • 有耗媒质中:(待写)
  • 相速 $v_p$:无耗媒质中,波阵面推进的速度

做题中常需要参数互求,所以上面的公式需要牢牢记住。

传播特性

上面都是数学推导,下面来说说从公式中能读出什么。

  1. 电场、磁场在空间中相互垂直 $\bd{E}\cdot\bd{H}=0$,且波形相同,时间同相;
  2. 电场、磁场的模值比是只与媒体特性有关的常数,定义为 本征阻抗(波阻抗)$\eta$

    $\mu_0$ 为真空波阻抗,$\mu_0=120\pi=377 \rm{\Omega}$

  3. 电场、磁场与能流方向垂直,这种波叫 横电磁波 TEM(Transverse Electric and Magnetic)

  4. 电场、磁场在空间任意点的能量密度相等

    说明空间中只有能量流动,没有能量交换

  5. 能速 $v_e=S(t)/(w_e+w_m)$,在均匀理想介质(真空)中,$v_e=\dfrac{1}{\mu\varepsilon}=v_p$

波矢量

将 $+z$ 方向改为任意方向:$\db{E}=\bd{E}_0 e^{-jk\xi}$,而 $\xi= \hat{a}_\xi\cdot \bd{r}$,代入得:$\db{E}=\bd{E}_0 e^{-jk\hat{a}_\xi\cdot \bd{r}}$

考虑指数部分:$-jk\hat{a}_\xi\cdot \bd{r}$,我们令 $\bd{k}=k\hat{a}_\xi$,定义为 波矢量。其大小为相移常数(无耗介质中的波数),方向为波传播方向。

从而波的数学表达式:

相应的,我们将之前讲过的内容用 $\bd{k}$ 替换:

实际上就是要记住$\bd{E,H,k}$ 之间的叉乘关系(下图)。

批注 2020-06-03 002731