坡印廷定理

前情回顾:

  • 在时变电磁场中,电磁场的能量密度为:

  • 损耗功率密度为:

时域坡印廷定理

对上式两边取体积分,并根据散度定理对左边化简:

注意到右边分别是电场能量、磁场能量、介质损耗,则左边就是波的能量。上式就是 坡印廷定理能流定理

为了描述能量流动的情况,引入坡印廷矢量 $\bd{S}$(看作功率密度)

表示单位时间内垂直穿过单位面积的能量(瞬时值),表示能量流动的大小和方向。

elmag_wave_axes


下面分析能速。考虑在完纯介质($\sigma=0$)中的坡印廷定理:

我们知道,电流密度有如下关系:

类比可知,电磁能的流动速度为:


坡印廷矢量的周期平均值:$\bd{S}_\mathrm{av}=\frac{1}{T}\int_0^T \bd{S}\dif t$

对于时谐场:

则:

复坡印廷矢量

能量密度(最大值):

定义复坡印廷矢量

可以看出,复坡印廷矢量的实部表示能量的流动;虚部则表示能量交换。故有以下三类情况:

  • $\phi_E-\phi_H=k\pi$,波流动
  • $\phi_E-\phi_H=(2n+1)\frac{\pi}{2}$ 波能量交换
  • 其他,波既流动又有能量交换

频域坡印廷定理

我们的过程和上面类似:

若无滞后效应,$\mu,\varepsilon$ 为实数,则:

若有滞后效应,$\mu,\varepsilon$ 为复数,则:

实部为 $p_T$ 热损耗 + $p_m$ 磁损耗 + $p_e$ 介电损耗;虚部为电场能量与磁场能量的交换。