# 坐标系和代数

$\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\p}{\partial\,}$

# 坐标系

## 三种坐标系

\begin{align} \dif \vec{S} &= \dif S_x + \dif S_y + \dif S_z \\ &= \hat{a}_x \dif y \dif z + \hat{a}_y \dif z \dif x + \hat{a}_z \dif x \dif y \end{align}

\begin{align} \dif \vec{l} &= \dif \vec{l}_r + \dif \vec{l}_\varphi + \dif \vec{l}_z\\ &= \hat{a}_r \dif r + \hat{a}_\varphi r \dif \varphi + \hat{a}_z \dif z \end{align}

\begin{align} \dif \vec{S} &= \hat{a}_r \dif S_r + \hat{a}_\varphi \dif S_\varphi + \hat{a}_z \dif S_z\\ &= \hat{a}_r r \dif \varphi \dif z + \hat{a}_\varphi \dif r \dif z + \hat{a}_z r \dif r \dif \varphi \end{align}

$(r, \theta, \varphi) \; (0 \leq r < +\infty, 0 \leq \theta \leq \pi, 0 \leq \varphi \leq 2\pi)$

\begin{align} \dif \vec{l} &= \dif \vec{l}_r + \dif \vec{l}_\theta + \dif \vec{l}_\varphi\\ &= \hat{a}_r \dif r + \hat{a}_\theta r \dif \theta + \hat{a}_\varphi r \sin \theta \dif \varphi \end{align}

\begin{align} \dif \vec{S} &= \hat{a}_r \dif S_r + \hat{a}_\theta \dif S_\theta + \hat{a}_\varphi \dif S_\varphi \\ &= \hat{a}_r r^2 \sin\theta \dif \theta \dif \varphi + \hat{a}_\theta r \sin\theta \dif r \dif \theta + \hat{a}_\varphi r \dif r \dif \theta \end{align}

注意

1. 以上三个坐标系的坐标单位矢量均是正交的
2. 相比起直接记公式，记图反而更容易理解。而且很显然，后两者都是用各自坐标把 x,y,z 表示出来，比如：
$\begin{cases} \dif x\\ \dif y\\ \dif z \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \dif r\\ r\dif \varphi\\ \dif z \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \dif r\\ r\sin\theta \varphi\\ r\dif \theta \end{cases}$

## 坐标变量之间的关系

直角与柱 $\begin{cases} x = r \cos \varphi\\ y = r \sin \varphi\\ z = z \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2}\\ \varphi = \arctan \frac{y}{x}\\ z = z \end{cases}$

直角与球 $\begin{cases} x = R \sin \theta \cos \varphi\\ y = R \sin \theta \sin \varphi\\ z = R \cos \theta \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} R = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\\ \theta = \arccos \frac{z}{R}\\ \varphi = \arctan \frac{y}{x}\\ \end{cases}$

柱与球 $\begin{cases} r = R\sin\theta\\ \varphi = \varphi\\ z = R\cos\theta \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} R = \sqrt{r^2+z^2}\\ \theta = \arcsin \frac{r}{R} = \arccos\frac{z}{R}\\ \varphi = \varphi \end{cases}$

## 坐标单位矢量之间的关系

直角与柱 $\begin{bmatrix} \hat{a}_x \\ \hat{a}_y \\ \hat{a}_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0\\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{a}_r \\ \hat{a}_\varphi \\ \hat{a}_z \end{bmatrix}$， $\begin{bmatrix} \hat{a}_r \\ \hat{a}_\varphi \\ \hat{a}_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & 0\\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{a}_x \\ \hat{a}_y \\ \hat{a}_z \end{bmatrix}$

柱与球 $\begin{bmatrix} \hat{a}_r \\ \hat{a}_\varphi \\ \hat{a}_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \cos\theta & -\sin\theta & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{a}_R \\ \hat{a}_\theta \\ \hat{a}_\varphi \end{bmatrix}$， $\begin{bmatrix} \hat{a}_R \\ \hat{a}_\theta \\ \hat{a}_\varphi \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sin\theta & 0 & \cos\theta\\ \cos\theta & 0 & -\sin\theta\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{a}_r \\ \hat{a}_\varphi \\ \hat{a}_z \end{bmatrix}$

直角与球 并没有一个很直观的推导方法，最好是用柱来中转。

注意

1. 单位矢量转换与坐标变量转换的思路是完全不同的。
• 坐标变量转换：利用已知的坐标通过几何运算得到未知坐标
• 单位矢量转换：将未知矢量投影到已知矢量得到系数
2. 记的时候只需要记图的两个轴：$x$ 和 $y$、$r$ 和 $z$

# 矢量

（1）矢量加减运用三角法则
（2）矢量点积 $\vec{A}\cdot\vec{B}$，满足交换律和分配律
（3）矢量叉积 $\vec{A}\times\vec{B}$，满足分配律但不满足交换律（需要加负号），可用行列式计算。
（4）标量三重积 $\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})$$=\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})$$=\vec{B}\cdot(\vec{C}\times\vec{A})$
（5）矢量三重积 $\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})$$=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})$，助记：英文谐音 BACK-CAB。相关证明

$\frac{\dif \vec{v}}{\dif t} = \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\vec{v}(t+\Delta t) -\vec{v}(t)}{\Delta t}$

$\frac{\p \vec{v}}{\p x_i} = \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\vec{v}(x_1 \cdots x_i+\Delta x_i \cdots x_n) -\vec{v}(x_1 \cdots x_i \cdots x_n)}{\Delta x_i}$

（1）$\frac{\dif}{\dif t}[k\vec{v}] = \vec{v}\frac{\dif f}{\dif t} + f \frac{\dif \vec{v}}{\dif t}$
（2）$\frac{\dif}{\dif t}[\vec{u}\cdot\vec{v}] = \vec{v}\cdot\frac{\dif \vec{u}}{\dif t} + \vec{u}\cdot\frac{\dif \vec{v}}{\dif t}$
（3）$\frac{\dif}{\dif t}[\vec{u}\times\vec{v}] = \vec{v}\times\frac{\dif \vec{u}}{\dif t} + \vec{u}\times\frac{\dif \vec{v}}{\dif t}$

注意 区分：

1. 常矢量：大小方向都不变的矢量
2. 单位矢量：大小为1，方向可变的矢量
3. 位置矢量：以坐标原点为起点的矢量

# 其他

## 对球坐标的讨论

1. $\hat{r} = \hat{x}$，$\hat{\theta} = -\hat{z}$，$\hat{\varphi} = \hat{y}$
2. $\hat{r} = \hat{y}$，$\hat{\theta} = -\hat{z}$，$\hat{\varphi} = -\hat{x}$

$\begin{bmatrix} a_r \\ a_\theta \\ a_\varphi \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sin\theta & 0 & \cos\theta\\ \cos\theta & 0 & -\sin\theta\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & 0\\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} a_r \\ a_\theta \\ a_\varphi \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\varphi & \sin\theta\sin\varphi & \cos\theta\\ \cos\theta\cos\varphi & \cos\theta\sin\varphi & -\sin\theta\\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{bmatrix}$

$\frac{\p \hat{r}}{\p r}=\frac{\p \hat{\theta}}{\p r}=\frac{\p \hat{\varphi}}{\p r}=0$ \begin{align} \frac{\p \hat{r}}{\p \theta}&=(\cos\theta\cos\varphi, \cos\theta\sin\varphi, -\sin\theta)=\hat{\theta}\\ \frac{\p \hat{\theta}}{\p \theta}&=(-\sin\theta\cos\varphi, -\sin\theta\sin\varphi, -\cos\theta)=-\hat{r}\\ \frac{\p \hat{\varphi}}{\p \theta}&=0 \end{align} \begin{align} \frac{\p \hat{r}}{\p \varphi}&=(-\sin\theta\sin\varphi, \sin\theta\cos\varphi, 0)=\hat{\varphi}\sin\theta\\ \frac{\p \hat{\theta}}{\p \varphi}&=(-\cos\theta\sin\varphi, \cos\theta\cos\varphi, 0)=\hat{\varphi}\cos\theta\\ \frac{\p \hat{\varphi}}{\p \varphi}&=(-\cos\varphi, -\sin\varphi, 0)=-\hat{r}\sin\theta+\hat{\theta}\cos\theta \end{align}

$\frac{\p \hat{a}_r}{\p r} = \frac{\p \hat{a}_\varphi}{\p r} = 0\\ \frac{\p \hat{a}_r}{\p z} = \frac{\p \hat{a}_\varphi}{\p z} = 0\\ \frac{\p \hat{a}_r}{\p \varphi} = \hat{a}_\varphi, \; \frac{\p \hat{a}_\varphi}{\p \varphi} = -\hat{a}_r$