坐标系和代数

若在空间中,每一点上都对应着某个物理量的确定值,则在这个空间域中确定了该物理量的场
如果物理量为矢量,则为矢量场;若为标量,则为标量场
如果物理量不随时间变换,则为静态场,反之为动态场

坐标系

基本知识

坐标系
空间中的每个点,均可用唯一一组标量表示出来,该系统就叫坐标系
对于 N 维空间,需要 N 个独立坐标变量
坐标面
当一个坐标变量等于某个常数时,形成的曲面或平面
坐标曲线
每两组坐标面的交线
正交坐标系
过空间任意点,三条坐标曲线都互相正交的坐标系
坐标单位矢量
过空间任意点M的三条坐标曲线的切向单位矢量
其模为1,以各坐标变量增加方向作为正方向
一个正交坐标系的坐标单位矢量相互正交并满足右手螺旋法则

下图中展示了一个以 $u_1, u_2, u_3$ 为轴的坐标系,其对应得坐标面$c_1, c_2, c_3$,坐标曲线$u_1, u_2, u_3$,坐标单位矢量 $\hat{a}_{u1}, \hat{a}_{u2}, \hat{a}_{u3}$

三种坐标系

直角坐标系 Cartesian Coordinates
坐标变量:$x, y , z \; (\infty < x,y,z < \infty)$
任意矢量 $\vec{A}$ 表示为:$\vec{A} = A_x \hat{a}_x + A_y \hat{a}_y + A_z \hat{a}_z$
长度元:$\dif \vec{l} = \hat{a}_x \dif x + \hat{a}_y \dif y + \hat{a}_z \dif z$
面积元:
体积元:$\dif V = \dif x\dif y\dif z$
圆柱坐标系 Cylindrical Coordinates
坐标变量:$(r, \varphi, z) \; (0 \leq r < +\infty, 0 \leq \varphi \leq 2\pi, -\infty < z < +\infty)$
任意矢量 $\vec{A}$ 表示为:$\vec{A} = A_r \hat{a}_r + A_φ \hat{a}_φ + A_z \hat{a}_z$
长度元:
面积元:
体积元:$\dif V = \dif l_r \dif l_\varphi \dif z = r \dif r \dif \varphi \dif z$
球坐标系 Spherical Coordinates
$(r, \theta, \varphi) \; (0 \leq r < +\infty, 0 \leq \theta \leq \pi, 0 \leq \varphi \leq 2\pi)$
任意矢量 $\vec{A}$ 表示为:$\vec{A} = A_r \hat{a}_r + A_θ \hat{a}_θ + A_φ \hat{a}_φ$
长度元:
面积元:
体积元:$ \dif V = \dif l_r \dif l_\theta \dif l_\varphi = r^2 \sin \theta \dif r \dif \theta \dif \varphi$

注意

  1. 以上三个坐标系的坐标单位矢量均是正交的
  2. 相比起直接记公式,记图反而更容易理解。而且很显然,后两者都是用各自坐标把 x,y,z 表示出来,比如:

坐标变量之间的关系

直角与柱

直角与球

柱与球

坐标单位矢量之间的关系

直角与柱

柱与球

直角与球 并没有一个很直观的推导方法,最好是用柱来中转。

注意

  1. 单位矢量转换与坐标变量转换的思路是完全不同的。
    • 坐标变量转换:利用已知的坐标通过几何运算得到未知坐标
    • 单位矢量转换:将未知矢量投影到已知矢量得到系数
  2. 记的时候只需要记图的两个轴:$x$ 和 $y$、$r$ 和 $z$

矢量

矢量在高中、线代中已经学过,这里就直接列一些重要的。

矢量
矢量是由大小和方向的量。表示为 $\vec{A} = \vec{a}_AA$,其中,$A = \vert\vec{A}\vert$,称为 $\vec{A}$ 的模或长度;$\vec{a}_A$ 是沿 $\vec{A}$ 方向的单位矢量。
位置矢量
从原点指向空间一点 $P$ 的矢量称为 $P$ 的位置矢量,常用球坐标中的 $\vec{r}$ 表示
矢量运算
(1)矢量加减运用三角法则
(2)矢量点积 $\vec{A}\cdot\vec{B}$,满足交换律和分配律
(3)矢量叉积 $\vec{A}\times\vec{B}$,满足分配律但不满足交换律(需要加负号),可用行列式计算。
(4)标量三重积 $\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})$$=\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})$$=\vec{B}\cdot(\vec{C}\times\vec{A})$
(5)矢量三重积 $\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})$$=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})$,助记:英文谐音 BACK-CAB。相关证明

补充:后面我们会经常用到一个恒等式:$\nabla\times(\nabla\times \vec{F})=\nabla(\nabla\cdot \vec{F})-\nabla^2\vec{F}$,这个公式就是由矢量三重积得到的,至于 $\nabla$ 是啥,下一节会介绍,现在把它当一个矢量即可。

矢量导数
矢量偏导
矢量的求导法则
(1)$\frac{\dif}{\dif t}[k\vec{v}] = \vec{v}\frac{\dif f}{\dif t} + f \frac{\dif \vec{v}}{\dif t}$
(2)$\frac{\dif}{\dif t}[\vec{u}\cdot\vec{v}] = \vec{v}\cdot\frac{\dif \vec{u}}{\dif t} + \vec{u}\cdot\frac{\dif \vec{v}}{\dif t}$
(3)$\frac{\dif}{\dif t}[\vec{u}\times\vec{v}] = \vec{v}\times\frac{\dif \vec{u}}{\dif t} + \vec{u}\times\frac{\dif \vec{v}}{\dif t}$

注意 区分:

  1. 常矢量:大小方向都不变的矢量
  2. 单位矢量:大小为1,方向可变的矢量
  3. 位置矢量:以坐标原点为起点的矢量

其他

对球坐标的讨论

球坐标的坐标单位矢量为 $\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\varphi}$(同 $\hat{a}_r, \hat{a}_\theta, \hat{a}_\varphi$),其方向是对应坐标增加的方向。与直角坐标系不同,球坐标的坐标单位矢量并不是常矢量。

我们考虑在直角坐标中的点 $(1,0,0)$ 和 $(0,1,0)$,对应球坐标的 $(1, \pi/2, 0)$ 和 $(1, \pi/2, \pi/2)$,对应的坐标单位矢量为:

  1. $\hat{r} = \hat{x}$,$\hat{\theta} = -\hat{z}$,$\hat{\varphi} = \hat{y}$
  2. $\hat{r} = \hat{y}$,$\hat{\theta} = -\hat{z}$,$\hat{\varphi} = -\hat{x}$

我们可以把 $\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\varphi}$ 看作是关于 $r, \theta, \varphi$ 的函数,那么函数的形式是什么呢?

我们由球-柱、柱-直之间的坐标单位矢量的关系,可以推导出球-直的坐标单位矢量的关系:

最终化简为:

我们发现,中间的矩阵中并没有 $r$,说明 $r$ 不改变 $\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\varphi}$. 我们进一步求出它们的偏导:

请记住 $\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\varphi}$ 的偏导,因为我们后面几章还要用。

同理,我们也可以推出柱坐标系的偏导:

小吐槽:说好的矢量一般用小写字母呢?咋华南理工的书这么喜欢用 $\vec{A}$ 😂 大家凑合看吧