分离变量法

分离变量法

分离变量法更多是从数学的角度去解拉普拉斯方程 $\nabla^2\phi=0$

位函数 $\phi$ 的拉普拉斯方程为:

设:$\phi(x,y,z)=f(x)g(y)h(z)$,$f$ 是不含 $y,z$ 的函数,$g,h$ 同理。

则:

考虑到 $x,y,z$ 是单独可变的,要使上面的和式为 0,不可能通过三个函数相加得到恒 0 (其中一个变量稍微一变就不为 0),所以和式各项只能是常数。即:

其中,$k_a,k_b,k_c$ 是在复数域上的常数。$\frac{1}{g}\frac{\p^2 f}{\p x^2}=-k_x^2$ 是二阶常微分方程,可以写成:$\frac{\p^2 f}{\p x^2}+k_x^2 f=0$,其特征方程为:$r^2+k_x^2=0$,根据特征根 $r_,r_2$ 的取值,可以给出通解:

  特征根 通解
$k_x^2<0$ $r_1 \neq r_2$ $f=C_1 e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
$k_x^2=0$ $r_1 = r_2 = 0$ $f=C_1+C_2 x$
$k_x^2>0$ $r_1\neq r_2 = \pm i \beta$ $f=C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x$

根据边界条件,我们通常可以确定 $k$ 是大于/等于/小于 0,从而得到 $f$ 的解的形式,以及解中的部分常数的值。