耦合回路

为什么要引入耦合回路?因为单回路振荡电路(串/并联振荡)的下降速度不够快。

耦合回路

耦合回路(coupling circuit) 是由两个或以上的电路形成的一个网络,两个网络之间有公共阻抗。其中,接信号源的回路称为初基回路,接负载的回路称为次级回路。

耦合系数(coupling coeffient) 来衡量耦合程度,其定义为:公共电抗/电阻的绝对值与初级、次级回路中同性质的电抗/电阻的几何中项之比。

显然耦合系数是一个小于等于1的正实数。

互感耦合回路

如图,我们列出两边的回路电压方程:

解得:

显然,互感耦合相当于在初级回路中串联一个反射阻抗(reflected impedance)$(\omega M)^2/Z_{22}$,在次级回路中串一个电压源 $j\omega M \frac{\dot{V}_1}{Z_{11}}$ 和 反射阻抗 $\frac{(\omega M)^2}{Z_{11}}$

我们对其中一个反射阻抗进行讨论:

可以看出,反射电抗 $X_{f1}$ 与 $X_{22}$ 异号,说明反射阻抗与原阻抗相反。正是因为这个,所以在只有电感时也会产生振荡。

耦合振荡回路的频率特性

我们对上面的电容耦合回路进行分析(电感耦合也是类似的)

为了简化分析,我们假定 $L_1=L_2=L$,$C_1=C_2=C$,$G_1=G_2=G$,那么我们可以列出节点电流方程:

我们将前三项广义失谐 $\xi = Q(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega})$ 来表示:

解出 $V_2$:

注意到:

于是我们把分母里那块疙瘩令为 耦合因数(coupling factor) $\eta = \frac{\omega C_M}{G}=Q\cdot k$,从而得到:

那么谐振曲线最高点在哪呢?这个就别浪费时间计算了,直接用 MATLAB 看看吧!

syms xi eta
V = eta./( sqrt((1-xi.^2+eta.^2).^2 + 4*xi.^2) );
ezmesh(V,[-5 5 2*pi 0 5],100)

先说明一个东西,就是在 通频带附近,我们把 $\eta$ 和 $\xi$ 看作是两个独立的变量。尽管它俩的定义式中都有 $\omega$,但相比之下 $\eta$ 受 $\omega$ 影响较小,$\xi$ 改变时 $\omega$ 几乎没变。(书中这点没说清)

η≤1

带宽

观察图片可以知道,当 $\eta\leq1$ 时(图中那点以及左边部分),$V_{2}$ 在 $\xi=0$ 处取谐振曲线的最大值,并且在 $\eta=1$ 时取整个曲面的最大值,则 $V_{2\text{max}} = I_s/2G$,从而:

其中,$\alpha$ 定义为相对抑制比。我们可以求出 $2\Delta\omega_{0.7}$:

可以看出,耦合回路的通频带比串/并联谐振的更宽,因此谐振曲线更接近于矩形。

峰值

我们再考虑 $\eta$ 对 $V_{2}$ 峰值的影响,令 $\xi=0, \eta\leq1$,有:

显然,$\alpha$ 在 $\eta=1$ 时取最大值,并且 $\eta$ 减小时,$V_{2\text{max}}$ 减小(如下图)。

η>1

当 $\eta>1$ 时,可以发现 MATLAB 图中点右边部分中级凹下去,并且随着 $\eta$ 增大,两峰之间宽度越大。我们下面讨论谷深、峰宽和带宽。

谷深

显然谷对应的位置 $\xi=0$,和 $\eta\leq1$时峰的位置一样。所以我们可以套用上面公式: $\alpha=\frac{2\eta}{1+\eta^2}$,显然 $\eta$ 越大,谷越深。为了区分,我们用 $\delta$ 来衡量谷深:

峰宽

要求峰宽,我们需要求峰对应的 $\xi$。对 $\alpha=\frac{2\eta}{\sqrt{(1-\xi^2+\eta^2)^2+4\xi^2}}$ 求 $\xi$ 的导数,并令导数为0,我们不难算出:

则我们可以计算出两峰宽度 $\Delta \xi_1=2\sqrt{\eta^2-1}$,$\frac{\Delta f}{f_0}\approx k$(k是耦合系数)

带宽

接下来讨论带宽。计算方法还是相同的:

注意到谷深不能低于 $\frac{1}{\sqrt{2}}$,当 $\delta=\frac{2\eta}{1+\eta^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 时,$\eta=2.41$,从而:

由于 $\eta=Q\cdot k$,我们一般取 $k=1.5k_c$($k_c$ 指 $\eta=1$ 时的耦合系数,大小为 $k_c=\frac{1}{Q}$)

串/并联谐振 单峰耦合回路 双峰耦合回路
$2\Delta f_{0.7}=\frac{f_0}{Q}$ $2\Delta f_{0.7}=\sqrt{2}\frac{f_0}{Q}$ $2\Delta f_{0.7}=3.1\frac{f_0}{Q}$

补充

比耦合回路性能更好的的滤波器可以采用如下方法:

  1. 巴特沃思(Butterworth)逼近
  2. 切比雪夫(Chebyshev)逼近
  3. 贝塞尔(Bessel)逼近
  4. 椭圆函数逼近