串并联谐振回路

选频网络

作用 选出需要的频率分量和滤除不需要的频率分量

分类

振荡回路
由电感 L、电容 C 等电抗元件和外加电压组成的回路,其电流的大小和方向发生周期性变化

串联电路

串联振荡回路
信号源与电容串接的振荡回路

基本原理

  在高频中,电阻 R 主要来源于电感线圈,常忽略电容的损耗。

  上述电路的阻抗 Z 如下(电路内容):

  电抗 X 为:$X = \omega L - \dfrac{1}{\omega C}$

  回路中电流为:$\dot{I} = \dfrac{\dot{V_s}}{Z} = \dfrac{\dot{V_s}}{R + \rm{j} (\omega L - \frac{1}{\omega C})}$

  随着频率变化,电抗也随之变化。当满足谐振条件 $X = \omega_0 L - \dfrac{1}{\omega_0 C} = 0$ 时,串联回路 $Z_0 = R$,且为最小值,这时称为 串联谐振(series resonance),相应的谐振角频率和频率为:$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$,$f_0 = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ . 若此时外加电压 $\dot(V)$ 为常数,则有以下三个特性:

  1. 谐振时,$Z_0 = R$,$\varphi = 0$,故电流达到最大值
  2. 当谐振时,由 $\omega_0 L = \dfrac{1}{\omega_0 C}$,有:

我们定义 $Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 C R} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$,称为品质因数(quality factor)(注意是 shù 不是 sù)。从上两式可以得出两个结论:

  1. 谐振时,电感与电容的电压大小是电源电压的 $Q$ 倍,因此要考虑元件耐压问题。这是串联谐振特有的现象,故串联谐振又称为电压谐振(voltage resonance)
  2. 谐振时,电感与电容电压反相
  3. 在谐振点及附近,电路电阻 R 决定电流大小;远离谐振点处,$\big\vert \omega L - \frac{1}{\omega C} \big\vert \gg R$($Q$ 较大),电流与 R 无关。故我们可以画出不同 $R$($Q$)时的 $I - \omega$曲线:

  若不满足谐振。当 $\omega < \omega_0$,有 $X = \omega L - \dfrac{1}{\omega C} < 0$,称为 容性;反之,当 $\omega > \omega_0$,有 $X = \omega L - \dfrac{1}{\omega C} > 0$,称为 感性


谐振曲线和通频带

谐振曲线
幅频特性曲线

作出谐振曲线:

  可以看出,$Q$ 越大,在频率不变的情况下,谐振曲线越尖锐。为了描述尖锐程度,我们模仿高等数学中的“斜率”,引入以下概念:

失谐量(失调 detuning)
失谐量 $\Delta\omega = \omega - \omega_0$
用来描述频率偏移程度

若 $\omega \rightarrow \omega_0$,有:

进一步我们可以定义,广义失谐(一般失谐 generalized detuning)
$\xi = Q (\dfrac{\omega}{\omega_o} - \dfrac{\omega_0}{\omega}) \approx \rm{Q} \dfrac{2\Delta\omega}{\omega_0} = \rm{Q} \dfrac{2\Delta f}{f_0}$

谐振曲线的公式可以表示为:

上式称为 通用形式的谐振特性方程式,其成立条件是 $\omega \rightarrow \omega_0$ 或 $\Delta \omega \rightarrow 0$


当电流 $I = \frac{1}{\sqrt{2}} I_0$ 时,所对应的 $\omega_1, \omega_2$ 称为边界角频率,$\omega_2 - \omega_2$ 称为回路的通频带(passband)。这时,回路中所损耗的功率为谐振时的一半 故 $\omega_1, \omega_2$ 也称为半功率点。

因为 $\omega_1, \omega_2 \rightarrow \omega_0$,所以有:

进一步,因为 $\xi \approx \rm{Q} \dfrac{2\Delta\omega}{\omega_0}$,所以有:

从上式可知,通频带与 $Q$ 值成反比,$Q$ 越高,谐振曲线越尖锐。这与前面的结论是一致的。

顺便说一句,从面我们还可进一步推出边界角频率的值,如下:

内阻与负载的影响

若增大回路电阻,会使得 Q 值降低

并联电路

串联谐振回路适用于低内阻电源,如果电源内阻很大,则应采用并联谐振回路。

并联谐振回路

基本原理

并联谐振电路的阻抗表达式为:

一般来说,$\omega L \gg R$(以后未说明则默认成立),我们可以忽略分子中的 $R$,所以:

若外加电流源为 $I_s$,则电压值为:

由此可知,当电纳 $B = 0$时,$\dot{V}_0 = \frac{L}{CR} \dot{I}_s$,此时电压与电流同相,且达到最大值,此时总阻抗为纯阻,且为最大值。这称为并联回路发生 并联谐振(parrallel resonance)

由 $\omega_p C - \frac{1}{\omega_L L}=0$,可以推出谐振频率和谐振角频率(与串联谐振频率形式相同):

此时的谐振电阻为 $R_p = \frac{L}{CR}$

我们定义品质因数 $Q_p$ 为(同串联):

我们由 $\omega_p C - \frac{1}{\omega_p L}=0$ 和 谐振电阻,可推导出:

上式说明,在谐振时,回路的谐振电阻等于 电感支路或电容支路电抗的 $Q_p$ 倍。

同时,各支路电流为:

由上二式可见,并联谐振时,若 $\omega L \gg R$,则电容支路与电感支路的电流等大反相,相互抵消,此时总电流 $\dot{I}_s = \dot{I}_{Cp} + \dot{I}_{Lp}$


当不满足 $\omega L \gg R$ 时,有:

谐振时,要使上式为实数,即虚部为 0,所以有:

显然此时电阻并不为最大值

谐振曲线与通频带

当 $\omega L\gg R$ 时,

等式右边与串联的谐振曲线是一样的。所以我们不再讨论,直接给出结论:

  1. 当 $\omega \rightarrow \omega_p$ 时,有:

  2. 绝对通频带为 $2 \Delta \omega_{0.7} = \frac{\omega_p}{Q_p}$

    相对通频带为 $\frac{2 \Delta \omega_{0.7}}{\omega_p} = \frac{1}{Q_p}$

  3. 由 1、2 知,并联谐振的通频带、选择性与品质因数 $Q_p$ 的关系与串联相同

以上讨论的是高 $Q_p$(即 $\omega L \gg R$)的情况,低 $Q_p$ 的情况请自行推导。

内阻与负载的影响

考虑内阻和负载,则并联谐振回路的 Q 值为:

低 Q 值并联回路

当 Q 低于 10 的电路都可叫做 低 Q 回路

当频率不变时,我们可以选择通过 调谐 $L$ 或调谐 $C$ 来获得谐振:

  1. 若电阻集中在 $L$,则调谐 $C$ 可以使 $Z_p$ 为纯阻和 $Z_p$ 达到最大这两点重合;调谐 $L$ 不行
  2. 反之,若电阻集中在 $C$,则调谐 $L$ 可以使 $Z_p$ 为纯阻和 $Z_p$ 达到最大这两点重合;调谐 $C$ 不行

考题

类型1 如何判断电路属于串联谐振还是并联谐振:

方法 串联谐振与并联谐振的根本区别在于:

  1. 串联谐振:$Z = R + j X$ 可以为纯 $R$,即 $X=0, B=\infty$
  2. 串联谐振:$Y = G + j B$ 可以为纯 $G$,即 $B=0, X=\infty$

一般,我们先列出 $Z$ 的表达式,分析其虚部 $jX$ 能否为 $0$ 或 $\infty$