频域采样

$$ \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\xleftrightarrow}[1]{\stackrel{#1}{\longleftrightarrow}} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\ft}{\xleftrightarrow{\F}} $$

对于非周期的信号，信号的频谱是连续的。而频域采样就是将频域离散化，时域周期化。过程如下：

$$ \widetilde{X}_p(j\omega)=X(j\omega)P(j\omega)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(j\omega) \delta(j(\omega-k\omega_c)) $$

为了使信号不混叠，信号必须满足：

1. 信号在时域上是有限的，时限于 $T_M$
2. $2T_M < \frac{2\pi}{T_0}$

从而可以通过矩形窗函数将原信号恢复出来：

$$ X(j\omega)=\frac{1}{2\pi} \widetilde{X}_p(j\omega)*W(j\omega)\\ W(j\omega)=2\pi \mathrm{sinc}(\omega/\omega_0) $$