模数转换与数模转换

$$ \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\xleftrightarrow}[1]{\stackrel{#1}{\longleftrightarrow}} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\ft}{\xleftrightarrow{\F}} $$

由于计算机只能处理离散时间信号，如果要处理连续时间信号，需要先进行连续到离散的转换（coutinuous-to-discrete time conversion, C/D转换），然后经过离散系统处理后，再用离散到连续时间转换（discrete-continuous time conversion, D/C转换），得到连续时间信号。

C/D转换又称为模数转换（A/D），D/C转换又称为数模转换（D/A）

下面我们为了区分各个信号，用下列角标：

$x_c(t)$ 表示输入的连续信号
$x_d[n]$ 表示连续信号经过 C/D 转换得到的离散信号
$y_d[n]$ 表示输出的离散信号
$y_c(t)$ 表示离散信号经过 D/C 转换得到的连续信号

C/D转换

批注 2020-05-15 151729

我们可以用以下公式表示采样：

$$ x_p(t)=x_c(t)p(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_c(nT)\delta(t-nT) $$

在这里强调一点，就是经过采样的信号依然不是离散信号。首先，冲激信号本身就不是离散信号，两个连续信号相乘不能的到离散信号。其次，得到的样本序列的时间轴也不一定是整数的。因此，我们构建一个离散序列 $x_d[n]$，令它满足：

$$ x_d[n]=x_p(nT)=x_c(nT) $$

对 $x_p(t)$ 和 $x_d[n]$ 进行傅里叶变换：

$$ \begin{align} X_p(j\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty} x_p(t) e^{-j\omega t}\dif t\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_c(nT)\delta(t-nT) e^{-j\omega t} \right]\dif t\\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_c(nT) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT) e^{-j\omega t} \dif t\\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_c(nT)e^{-j\omega nT} \end{align} $$$$ \begin{align} X_d(e^{j\Omega}) &= \sum_{-\infty}^{+\infty} x_d[n] e^{- j\Omega n}\\ &= \sum_{-\infty}^{+\infty} x_c(nT) e^{- j\Omega n} \end{align} $$

上面我们用 $\omega$ 和 $\Omega$ 来区分两个频谱。比较两个傅里叶变换，有：

$$ X_d(e^{j\Omega})=X_p(j\Omega/T) \rightarrow \omega=\frac{\Omega}{T}\\ 逆过程 X_p(j\omega)=X_d(e^{j\omega T}) \rightarrow \Omega=\omega T $$

或者也可以用频域卷积性质来求，同样也能得到 $\omega$ 和 $\Omega$ 的关系：

$$ X_p(j\omega)=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_c(j(\omega-k\omega_s)), \omega_s=2\pi/T\\ X_d(e^{j\Omega})=\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_c(j(\Omega-2\pi k)/T) $$

这个有点类似于傅里叶变换的尺度变换性质：时域上的拉伸 $x_p(nT)$ 对应于频域上的压缩 $X_p(j\Omega/T)$（但少了系数）。冲激采样的频谱是以 $2\pi/T$ 为周期的，而离散傅里叶变换是以 $2\pi$ 为周期的，所以冲激串到离散序列的转换本质上就是尺度变换（$\frac{2\pi}{T} \times T=2\pi$）。（如下图）

批注 2020-05-16 102919