采样

采样定理

如果一个信号是带限的¹，并且它的样本取得足够密，则这些样本就能唯一地表征这一信号，并且能从样本中把信号恢复出来。

冲激串采样

设冲激串序列（pulse）：

则冲激串采样为：

其中，$T$ 称为采样周期，${\omega }_s=2\pi /T$ 称为采样频率（下标S 表示 Sampling）。

对 $x_p(t)$ 进行傅里叶变换（时域相乘对应频域卷积）：

因为信号与冲激函数的卷积就是信号的移位，所以：

这说明冲激采样得到的信号频谱是原信号频谱的周期性延拓。如果原信号的带宽为 $(-{\omega }_M,{\omega }_M)$²，那么要令周期延拓后信号不重叠，则必须要满足：${\omega }_s>2{\omega }_M$（参考下图）

采样定理{:.success}

设 $x(t)$ 是某一个带限信号，在 $|\omega |>{\omega }_M$ 时 $X(j\omega )=0$。如果 ${\omega }_s>2{\omega }_M$，其中，${\omega }_s=2\pi /T$，那么 $x(t)$ 就唯一地由样本 $x(nT),n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$ 所确定。

零阶保持采样

在实际中很难实现冲激信号，一般是对某一时刻的 $x(t)$ 采样并保持这一样本值，直到下一个样本被采样为止。这就称为 零阶保持（zero-order hold），相当于在冲激采样的基础上加上保持器（如下图）

如果设保持器 $h_0(t)$ 的傅里叶变换为 $H_0(j\omega )$，则零阶保持采样频域上相当于：在冲激采样的基础上乘以 $H_0(j\omega )$，即：

上一节已经讲了，$X_p(j\omega )$ 可以通过低通滤波得到原频谱，即：$X(j\omega )=X_p(j\omega )H(j\omega )$，那么，我们只需找到 $H_r(j\omega )$，使得：

容易算出：

当然，由于理想低通滤波是不可能实现的，所以上图也是不可能实现的。

内插重建

上面的重建都是从频域上分析的，在时域上，重建过程就相当于在采样点之间插值，称为 内插。

对于冲激采样，其重建过程为：

可以看出，冲激采样的重建就是利用 $h(t)=\frac{{\omega }_{c}T\sin ({\omega }_{c}t)}{\pi {\omega }_{c}t}$ 作为内插函数来补充值（如下图）。这种利用理想低通滤波器的单位冲激响应的内插称为 带限内插。

也可以利用不同的函数作为内插函数。比如把零阶保持看作内插的一种，就能得到零阶内插。（下图是零阶保持与理想内插的区别）

欠采样与混叠现象

如果 ${\omega }_s<2{\omega }_M$，周期延拓的频谱就会产生重叠，就会使得重建得到的信号失真。比如考虑：

分别取 ${\omega }_s=6{\omega }_0$ 和 ${\omega }_s=6{\omega }_0/4$，则采样后的频谱图分别为：

	${\omega }_s=6{\omega }_0$	${\omega }_s=6{\omega }_0/4$
采样信号的频谱
恢复的信号	$x_r(t)=\cos {\omega }_{0}t$	$x_r(t)=\cos ({\omega }_s-{\omega }_0)$

离散时间采样

与上面的过程类似，我们有一脉冲串：

用该脉冲串对 $x[n]$ 采样：

其频谱为：