傅里叶变换的模和相位表示

$$ \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\xleftrightarrow}[1]{\stackrel{#1}{\longleftrightarrow}} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\ft}{\xleftrightarrow{\F}} $$

• 在时域，系统用卷积 $h(t)$ 或 $h[n]$ 描述；
• 在频域，系统用 $H(j\omega)$ 或 $H(e^{j\omega})$ 来描述。

而时域和频域往往具有相反的关系，比如：时域上是冲激 $\delta(t)$，而频域上则是 $X(j\omega)=1$。但由于频域比较好算，所以我们一般从频域去描述。

傅里叶变换的模和相位表示：

$X(j\omega)$ 和 $X(e^{j\omega})$ 可以表示为：

$$ X(j\omega)=|X(j\omega)|e^{j\angle X(j\omega)}\\ X(e^{j\omega})=|X(e^{j\omega})|e^{j\angle X(e^{j\omega})} $$

其中，

LTI系统频率响应的模和相位

LTI系统的输入输出满足：

$$ Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega) $$

其中，对相位的变换为：

$$ |Y(j\omega)|=|H(j\omega)|\cdot|X(j\omega)| $$

对相位的变换为：

$$ \angle Y(j\omega)=\angle H(j\omega) + \angle X(j\omega) $$

其中，$|H(j\omega)|$ 称为系统的 增益（gain），$\angle H(j\omega)$ 称为系统的 相移（phase shift）。

线性与非线性相位

若频率响应为：$H(j\omega)=e^{-j\omega}$，那么：

$$ |H(j\omega)|=1,\quad \angle H(j\omega)=-\omega t_0 $$

此时，相移是 $\omega$ 的线性函数。这种系统所产生的输出就是输入的时移：$y(t)=x(t-t_0)$。

对于离散的情况，则额外要求 $H(e^{j\omega})=e^{-j\omega n_0}$ 中的 $n_0$ 为整数，这样才能是线性的。

由上，我们可以得出信号不失真传输的条件：

$$ y(t)=kx(t-t_0)\\ 时域表征：h(t)=k\delta(t-t_0)\\ 频域表征： \begin{cases} H(j\omega)=ke^{-j\omega t_0}\\ |H(j\omega)|=k\\ \angle H(j\omega)=-\omega t_0 \end{cases} $$

由于系统对所有信号的增益都相同，所以这样的系统一般称为 全通（all-pass） 系统。

群时延

定义群时延为： $\tau(\omega)=-\frac{\dif}{\dif \omega} \{ \angle H(j\omega) \}$，表示在频率 $\omega$ 附近的一个窄带内的公共时延。

对于非线性相位的系统，

Bode图

Bode图：用对数坐标来表示