由LCCDR表征的系统

$$ \begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\xleftrightarrow}[1]{\stackrel{#1}{\longleftrightarrow}} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \end{align*} $$

由LCCDR表征的系统

如果已知 LTI 系统对于冲激信号 $\delta(t)$ 的响应 $y_\delta(t)$，则对于任意输入信号 $x(t)$，对应的响应为 $y(t)=\int_0^t x(\tau)y_\delta(t-\tau) \dif \tau$

如果我们对两边取傅里叶变换，则：

$$ Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega)\\ \therefore H(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)} $$

所以除了通过卷积得到输出，还可以通过频域乘法得到频域的输出。

下面我们来看看如何求 $H(j\omega)$。一般可以通过框图求出线性常系数方程：

$$ \sum_k a_k \frac{\dif^k y(t)}{\dif t^k}=\sum_k b_k \frac{\dif^k x(t)}{\dif t^k} $$

对两边求傅里叶变换：

$$ \F \left\{ \sum_k a_k \frac{\dif^k y(t)}{\dif t^k} \right\} = \F\left\{ \sum_k b_k \frac{\dif^k x(t)}{\dif t^k} \right\}\\ \sum_k a_k (j\omega)^k Y(j\omega) = \sum_k b_k (j\omega)^k X(j\omega) $$

从而有：

$$ H(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}=\frac{\sum_k a_k (j\omega)^k}{\sum_k b_k (j\omega)^k} $$