离散时间傅里叶级数

$$ \begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\xleftrightarrow}[1]{\stackrel{#1}{\longleftrightarrow}} \end{align*} $$

离散时间周期信号的傅里叶级数

离散时间周期信号的傅里叶级数：

$$ x[n]=\sum_{k=\langle N \rangle} a_k e^{j(2\pi/N)kn} $$

$k=\langle N \rangle$ 表示 $k$ 取 $1,2,\cdots N$。这是离散与连续的一大不同。因为 $k=N+1$ 对应的周期函数与 $k=1$ 是同一个。

对两边同时乘以 $e^{-jr(2\pi/N)n}$，然后求和：

$$ \begin{align} \quad\sum_{n=\langle N \rangle} x[n] e^{-jr(2\pi/N)n} &=\sum_{n=\langle N \rangle} \sum_{k=\langle N \rangle} a_k e^{j(2\pi/N)(k-r)n}\\ &=\sum_{k=\langle N \rangle} a_k \sum_{n=\langle N \rangle} e^{j(2\pi/N)(k-r)n}\\ &=a_r \sum_{n=\langle N \rangle} e^{j(2\pi/N)(r-r)n}\\ &=N a_r \end{align}\\ $$

所以我们有 离散时间傅里叶级数 为：

$$ x[n]=\sum_{k=\langle N \rangle} a_k e^{jk\omega_0n}=\sum_{k=\langle N \rangle} a_k e^{jk(2\pi/N)n}\\ a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} x[n]e^{-jk\omega_0n}=\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} x[n] e^{-jk(2\pi/N)n} $$

以上两条式分别为 综合公式（上） 和 分析公式（下），$a_k$ 称为 频谱系数（spectral coefficient）。

一般来说，离散时间傅里叶级数不存在任何收敛问题，因为只有有限个频谱系数。

离散傅里叶级数性质

若 $x[n]$ 是一个周期信号，周期为 $N$，其傅里叶级数系数记为 $a_k$，则记作：

$$ x[n] \xleftrightarrow{Fs} a_k $$

线性性质

$$ Ax[n]+By[n] \xleftrightarrow{Fs} Aa_k+Bb_k $$

证明：

$$ \begin{align} &\quad\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} (Ax[n]+By[n]) e^{-jk\omega_0n}\\ &=\frac{A}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} x[n] e^{-jk\omega_0n}+\frac{B}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} y[n] e^{-jk\omega_0n}\\ &=Aa_k+Bb_k \end{align} $$

时移性质

$$ x[n-n_0]\xleftrightarrow{Fs} a_ke^{-jk(2\pi/N)n_0} $$

证明：

$$ \begin{align} &\quad\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} x[n-n_0] e^{-jk\omega_0n}\\ &=\frac{1}{N}\sum_{m=\langle N \rangle} x[m] e^{-jk\omega_0(m+n_0)}\\ &=a_ke^{-jk(2\pi/N)n_0} \end{align} $$

相乘

$x[n],y[n]$ 是周期为 $N$ 的离散函数：

$$ x[n]y[n]\xleftrightarrow{Fs} \sum_{l=\langle N \rangle} a_lb_{k-l} $$

证明：

$$ \begin{align} &\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} x[n]y[n] \cdot e^{-jk\omega_0n}\\ =&\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} \left( \sum_{l=\langle N \rangle} a_l e^{jl\omega_0n} \right)y[n] \cdot e^{-jk\omega_0n}\\ =&\sum_{l=\langle N \rangle} a_l \left( \frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} y[n] \cdot e^{-j(k-l)\omega_0n} \right)\\ =&\sum_{l=\langle N \rangle} a_lb_{k-l} \end{align} $$

差分

$$ x[n]-x[n-1]\xleftrightarrow{Fs} (1-e^{-jk(2\pi/N)})a_k $$

证明：

$$ \because \begin{cases} x[n]\xleftrightarrow{Fs} a_k\\ x[n-1]\xleftrightarrow{Fs} e^{-jk(2\pi/N)}a_k\\ \end{cases}\\ \therefore x[n]-x[n-1]=a_k-e^{-jk(2\pi/N)}a_k\\ =(1-e^{-jk(2\pi/N)})a_k $$

Parseval 定理

$$ \frac{1}{N} \sum_{n=\langle N \rangle} \left| x[n] \right|^2=\sum_{n=\langle N \rangle} \left| a_k \right|^2 $$

总结