系列
信号与系统
2 线性时不变系统
线性时不变系统的性质

线性时不变系统的性质

$$\begin{align*}\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\end{align*}$$

冲激响应与LTI系统的性质

上一节说过，可以利用信号与单位冲激响应的卷积来表示一个LTI系统：

$$ y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k]=x[n]*h[n]\\ y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t-\tau)\dif \tau=x(t)*h(t) $$

那么卷积有的性质，LTI系统一样也有。比如分配律与结合律：

LTI分配律

LTI结合律

此外可以用卷积来表示LTI系统的其他性质

  • 记忆性（是否只与当前时刻有关）：无记忆系统的冲激响应满足：$h[n]=K\delta[n]$，$h(t)=K\delta(t)$

  • 可逆性：是否能找到一个逆系统，使得 $h(t)*h_1(t)=\delta(t)$

  • 因果性：如果 $h[n]=0,n<0$ 或 $h(t)=0,t<0$，则系统是因果的。因此我们将 $n<0$ 或 $t<0$ 时为零的信号称为 因果信号

  • 稳定性：有界信号要产生有界输出，则 $h[n]*x[n]\leq B \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \vert h[k] \vert \lt \infty$，$B$是信号的上界，所以稳定系统的脉冲/冲激响应满足：

    $$ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \vert h[k] \vert<\infty\\ \int_{-infty}^{+\infty} |h(\tau)|\dif \tau < \infty $$

    这个叫绝对可和、绝对可积

微分/差分方程描述的LTI系统

线性系统响应的时域求解法：

  1. 求转移算子 $H(p)$
  2. 求零输入响应
  3. 求零状态响应
    1. 求冲激响应
    2. 输入与冲激响应相卷积
  4. 将零输入和零状态叠加

求冲激响应

在求响应之前，先分清零输入响应与零状态响应，以及为什么要区分这两个东西。其实这俩东西电路中就已经学过了，但至于为什么要区分这东西，其实理由挺多的。比如前面说的“增量线性系统” $r(t)=e(t)+C$, $C\neq 0$ 就分为零输入与零状态两个部分。还有上一节那个利用积分求卷积的，上移一个单位后，也可以分为零输入与零状态两个部分。而我们上面所说的，都只是针对零状态响应，并未考虑零输入响应。

系统方程/算子法

设系统满足方程：$y'(t)-\lambda y(t) = kx(t)$，如果我们要求冲激响应，也就是解 $h'(t)-\lambda h(t) = k\delta(t)$，并且由于冲激响应是零状态响应，所以我们有初始条件： $h^{(n)}(0)=0,n=0,1,2,\cdots$

下面对等式两边同乘 $e^{-\lambda t}$：

$$ e^{-\lambda t} h'(t)-e^{-\lambda t} \lambda h(t) = e^{-\lambda t} k\delta(t) $$

注意到：$[e^{-\lambda t} h(t)]'=e^{-\lambda t} h'(t)-e^{-\lambda t} \lambda h(t)$，所以：

$$ [e^{-\lambda t} h(t)]'= e^{-\lambda t} k\delta(t) $$

对两边求 $0^-$ 到 $t$ 的积分：

$$ e^{-\lambda t} h(t) - h(0)=ku(t)\\ 又因为 h(0)=0，所以得到：\\ h(t)=ke^{\lambda t} u(t) $$

同时，如果我们定义 $p$ 算子：$ph(t)$ 表示对 $h(t)$ 做一阶微分，那么微分方程可以表示成：

$$ h(t)=\frac{k}{p-\lambda}\delta(t)\\ 或\,h(t)=H(p)\delta(t) ,\; H(p)=\frac{k}{p-\lambda} $$

从而：

$$ h(t)=\frac{k}{p-\lambda}\delta(t)=h(t)=ke^{\lambda t} u(t) $$

在实际应用中也有用处。比如：电容满足：$i=C\frac{\dif u}{\dif t}=Cpu$，从而 $R=u/i=1/(Cp)$，那么，要求RC回路的电容电压，我们有：

$$ u_c=\frac{\frac{1}{Cp}}{R+\frac{1}{Cp}}=\frac{\frac{1}{RC}}{p+\frac{1}{RC}}=\frac{1}{RC} e^{-\frac{1}{RC}t} u(t) $$

那么对于二阶系统呢？

我们考虑 $h(t)=\frac{1}{p^2+3p+2}\delta(t)$，可以分解成：

$$ \begin{align} h(t)&=(\frac{1}{p+1}+\frac{-1}{p+2})\delta(t)\\ &=\frac{1}{p+1}\delta(t)+\frac{-1}{p+2}\delta(t) \end{align} $$

从而可以分解成两个一阶系统之和。因此对于任意阶系统：

$$ H(p)=\frac{N(p)}{D(p)}=\frac{\sum b_m p^m}{\sum a_n p^n}\\ $$

  1. 如果 $H(p)$ 是真分式，即 $m\lt n$，并且 $\lambda_1 \neq \lambda_2 \neq \cdots \neq \lambda_n$，则：

    $$ H(p)=\frac{N(p)}{D(p)}=\frac{\sum b_m p^m}{\sum a_n p^n}\\ =\frac{k_1}{p-\lambda_1}+\cdots+\frac{k_n}{p-\lambda_n} $$

    我们都可以通个分解成一阶系统之和来求解。

  2. 如果 $m\geq n$，则可以利用长除法转化成多项式+真分式

  3. 如果存在两个甚至多个 $\lambda$ 相等，可以证明：

$$ \frac{k}{(p-\lambda)^2}\delta(t)=kte^{\lambda t} u(t)\\ \frac{k}{(p-\lambda)^3}\delta(t)=k\frac{t^2}{2}e^{\lambda t} u(t)\\ \frac{k}{(p-\lambda)^4}\delta(t)=k\frac{t^3}{3\times 2}e^{\lambda t} u(t)\\ \vdots\\ \frac{k}{(p-\lambda)^n}\delta(t)=k\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{\lambda t} u(t) $$

求零状态响应

将冲激响应与输入信号卷积。

求零输入响应

这还不简单吗……把 $x(t)=0$ 代入微分方程，先求特征根，根据特征根求得形式解，然后代入题目条件得到特解。

常见特征根对应得形式解：

$$ \lambda为实数，Ce^{\lambda t} $$

由于我们一般只关心0以后的值，题目给的条件也只是给0时刻的初始值，所以求出零输入响应后，要乘上 $u(t)$。

求全响应

全响应 = 零状态响应 + 零输入响应

此外，全响应也可以分成：自然响应 + 受迫响应。自然响应指的是系统本身产生的响应，包括零输入响应以及部分零状态响应，而那部分的零状态响应的形式必须与零输入响应相同。比如：零输入为 $e^{-t}u(t)$，零状态为 $\frac{1}{2} e^{-t}u(t)$，那么这两个都是自然响应。

此外，全响应还可以分成：瞬态响应 + 稳态响应。主要看 $+\infty$ 时信号是否为 0，为 0 就是瞬态响应，不为 0 就是稳态响应。

卷积和与卷积积分