卷积和与卷积积分

$$\begin{align*}\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\end{align*}$$

如果可以将线性时不变系统的输入能用一组基本信号的线性组合来表示，就可以用叠加性质将它们各种的输出叠加，从而得到整个系统的输出

卷积和

用脉冲表示离散信号

$$ \begin{align} x[n]&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]\\ &=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[n]\delta[n-n]\\ &=x[n] \end{align} $$

离散LTI系统的单位脉冲响应和卷积和

假设离散时间线性时不变系统的单位脉冲响应表示为：$\delta[n]\rightarrow h[n]$

由于时不变性质：$\delta[n-k]\rightarrow h[n-k]$

由线性性：$x[k]\delta[n-k]\rightarrow x[k]h[n-k]$

$$ \begin{align} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\delta[n-k]&\rightarrow\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k]\\ \Downarrow&\\ x[n]&\rightarrow\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k] \end{align} $$

可见，如果我们知道离散时间线性时不变系统的单位脉冲响应 $h[n]$，则我们可以算出任意信号 $x[n]$ 的响应 $y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k]$

我们把这种计算称为卷积和（convolution sum），记作：$y[n]=x[n]*h[n]$

卷积积分

用冲激函数表示连续信号

$$ \begin{align} x(t)*\delta(t)&=\sum_{k=\infty}^{+\infty}\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)\dif\tau\\ &=x(t) \end{align} $$

线性LTI系统的单位冲激响应和卷积积分

假如我们已知线性时不变系统对阶跃信号的响应：$u(t)\rightarrow y_u(t)$

由时不变性质：$u(t-\tau) \rightarrow y_u(t-\tau)$

由齐次性：$x'(\tau)u(t-\tau) \rightarrow x'(\tau)y_u(t-\tau)$

从而我们可以进行叠加：$\int_{0^+}^t e'(\tau)u(t-\tau) \dif \tau \rightarrow \int_{0^+}^t e'(\tau)y_u(t-\tau) \dif \tau$

$$ \begin{align} x(t) &= x(0)u(t) + \int_{0^+}^t x'(\tau)u(t-\tau) \dif \tau \\ \downarrow \;\;&\\ y_x(t) &= x(0)y_u(t) + \int_{0^+}^t e'(\tau)y_u(t-\tau) \dif \tau \end{align} $$

因此只要知道系统对阶跃信号的响应，就可以求出系统对任意连续可导信号的响应。我们将 $x(t)\rightarrow e(0)y_u(t) + \int_{0^+}^t e'(\tau)y_u(t-\tau) \dif \tau$ 称为杜阿美积分（Duhamel’s Integral）

杜阿美积分的另一种形式为为：

$$ x(t)\rightarrow x(0)y_u(t) + \int_{0^+}^t x'(t-\tau)y_u(\tau) \dif \tau $$

由于很多信号是很难求导甚至不可求导的，所以杜阿美积分很难求。

假如我们已知系统对冲激信号的响应：$\delta(t)\rightarrow y_\delta(t)$

同理，由时不变性质：$\delta(t-\tau) \rightarrow y_\delta(t-\tau)$

由齐次性：$x(\tau)\delta(t-\tau) \rightarrow x(\tau)y_\delta(t-\tau)$

叠加可得：$\int_0^t x(\tau)\delta(t-\tau) \dif \tau \rightarrow \int_0^t x(\tau)y_\delta(t-\tau) \dif \tau$

从而对于信号 $x(t)$ 有 $x(t) \rightarrow \int_0^t x(\tau)y_\delta(t-\tau) \dif \tau$，我们称之为 卷积积分。卷积积分与杜阿美积分相比，最大的好处就是不要求信号连续可导。

卷积的性质

交换律

$$ x[n]*h[n]=h[n]*x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]x[n-k]\\ x(t)*h(t)=h(t)*x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)x(t-\tau)\dif \tau $$

分配律

$$ x[n]*(h_1[n]+h_2[n])=x[n]*h_1[n]+x[n]\\ x(t)*[h_1(t)+h_2(t)]=x(t)*h_1(t)+x(t)*h_2(t) $$

结合律

$$ x[n]*(h_1[n]*h_2[n])=(x[n]*h_1[n])*h_2[n]\\ x(t)*[h_1(t)*h_2(t)]=[x(t)*h_1(t)]*h_2(t) $$

可逆性

因果性

稳定性

LTI系统的性质

卷积的计算

卷积与前面的简单计算有很大不同。加减乘除只与某一时间点的输入有关，但卷积与整个时间都有关系。所以卷积是复杂运算。