第一章习题

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判断以下结论的对错，要求给出分析过程：

两个周期信号相加依然是周期信号？
非周期信号一定是能量信号？
能量信号一定是非周期信号？
两个功率信号相加依然是功率信号？
两个功率信号之积依然是功率信号？
能量信号乘功率信号之积是能量信号？
随机信号一定是非周期信号？

Note

两个周期信号相加依然是周期信号（×）
设周期信号 $x_{1} (t) = x_{1} (t + M)$ ， $x_{2} (t) = x_{2} (t + N)$
令 $x (t) = x_{1} (t) + x_{2} (t)$
要使 $x (t) = x (t + k)$ ，则要求 $k$ 是 $M, N$ 的（最小）公倍数。
即存在正整数 $P, Q$ ，使得 $k = Q M = P N$ ，也就是要求： $\frac{M}{N} = \frac{P}{Q}$ 必须是有理数。显然当 $M, N$ 一个有理，一个无理时，相加后无周期。
更多讨论可以看知乎：如果 f(x) 与 g(x) 均为周期函数，判断其相加后的周期性？
但在实际工程中，我们一般会将周期近似为有限位小数，所以我们可以认为，两个周期信号相加是 概周期信号。
非周期信号一定是能量信号（×）
考虑阶跃信号。
能量信号一定是非周期信号（√）
周期信号能量一定无穷大，即一定是功率信号；而功率信号不可能是周期信号。所以周期信号一定不是能量信号，从而逆否命题：【能量信号一定是非周期信号】成立。（由于零信号无意义且无周期，我们不考虑零信号）。
两个功率信号相加依然是功率信号（×)
一正一反相消。
两个功率信号之积依然是功率信号（×）
一个是阶跃信号，一个是阶跃信号以y轴对称的信号，相乘为零。
能量信号乘功率信号之积是能量信号（×）
emm……其实这个挺难想的。给出如下反例：

能量信号： $x_{1} (t) = \sum_{k = 0}^{\infty} [u (x - k) - u (x - \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{2^{n}})]$ 级数收敛；
功率信号： $x_{2} (t) = \sum_{k = 0}^{\infty} {\sqrt{2}}^{k} [u (x - k) - u (x - \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{2^{n}})]$ ，级数发散；
相乘后依然是 $x_{2} (t)$ ，是功率信号。
随机信号一定是非周期信号（×）
只要不能写出确定的函数式，则是随机信号。
比如： $\sin (x + H)$ ，其中， $H$ 是随机的。
显然上面的函数的周期为 $2 π$ ，是周期信号，但我们无法画出这个信号。

系统