系列
半导体器件
MOS Capacitor

MOS Capacitor

$$ \begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\belowarrow}[1]{\mathop{#1}\limits_{\uparrow}} \newcommand{\bd}{\boldsymbol} \newcommand{\L}{\mathscr{L}} \end{align*} $$

MOS 代表的是 metal-oxide-semionductor，一个典型的 MOS 由三部分组成：

  • semiconductor substrate
  • insulator film
  • metal electrode - called gate

不过也可以用 heavily doped polycrystalline silicon 来代替 metal electrode. MOS 的两种用途如下：

MOS CapacitorMOS Transistor
半导体器件 figure5-1半导体器件 figure5-2

我们不会直接用 MOS Capacitor，而是用 MOS Transistor。但了解 MOS Capacitor 对我们后续的学习有帮助😀。

5.1 Flat-Band Condtion and Flat-Band Voltage

照例，我们先来看看能带图：

半导体器件 figure5-3

好吧，这个能带图看起来怪复杂的……我们先不看这个，先来看一种叫 flat-band condition 的情况：

半导体器件 figure5-4

好吧，这个还是很复杂，我们一点一点分析：

  1. flat-band condition 是通过在 gate 上加负电压得到的。因为只有加负压才能提高电势。
  2. 因为能带是平的，所以
    • substrate 的 the surface electric field 为 0
    • ${\rm SiO_2}$ 中的 $E_c,E_v$ 也为 0，且 $E_g=9 \text{eV}$
  3. $E_0$ 是 vacuum level，the energy state of electrons outside the material
  4. 图中几个差值：
    • $E_0-E_c=\chi$ 称为 电子亲合能 electron affinity，是一个材料的固定参数
    • ${\rm Si}$ 的 $E_c$ 与 ${\rm SiO_2}$ 的 $E_c$ 之差称为 electron energy barrier
    • ${\rm Si}$ 的 $E_v$ 与 ${\rm SiO_2}$ 的 $E_v$ 之差称为 hole energy barrier
  5. 为了简化分析，${\rm N^+ \; poly \; Si}$ 的 $E_F$ 与 $E_c$ 重合
  6. 因为 ${\rm SiO_2}$ 的禁带很宽，所以 $E_F$ 放中间哪个位置都差不多，我们干脆就不管它了

平带时所加的电压称为 flat-band voltage $V_\text{fb}$。没加电压前两边的费米能级相等，加了后存在差值，所以平带电压为：

$$ V_\text{fb} = \psi_g - \psi_s \tag{5.1.1}\\ 考试请使用 (5.7.1) 的修正公式 $$

$\psi_g,\psi_s$ 是 gate and semi’ 的真空能级与费米能级之间的差值，称为 work function

5.2 Surface Accumulation

如果进一步减小 $V_g$，那么 gate 的能带就进一步提高，substrat 的能带就下凹（fig 5-5）

半导体器件 figure5-5

从图中注意到几件事：

  1. gate 的能带没弯，说明它上面几乎没电压降（毕竟金属内部没电场）
  2. ${\rm SiO_2}$ 上的电压 oxide voltage 为 $V_\text{ox}$，定义为 gate 减去 substrate，所以是 up toward the gate is negative（图中）
  3. substrate 的电压降为 $\phi_s$，并且主要集中在表面。$\phi_s$ 是 surface voltage，因为衬底是 0 电势，所以 bends upward is negative（图中），bends downword is positive.

因为衬底表面处的 $E_F$ 更靠近 $E_v$，所以表面空穴浓度为：

$$ p_s = N_a e^{-q \phi_s / kT} \tag{5.2.1} $$

这个浓度比内部大（$\phi_s$ 为负），所以空穴在表面形成 accumulation layer，这些空穴称为 accumulation-layer holes，对应的电荷为 accumulation charge, $Q_\text{acc}$。这种情况称为 surface accumulation

这时候加在上面的总电压是多少呢？二氧化硅有分压 $V_\text{ox}$，衬底表面有分压 $\phi_s$，再加上平带电压 $V_\text{fb}$，则：

$$ V_g = V_\text{fb}+\phi_s+V_\text{ox} \tag{5.2.2} $$

但我们仍不清楚 $\phi_s$ 和 $V_\text{ox}$ 的值。这时候我们不妨用作一个高斯面（长度为绝缘层厚度 $T_\text{ox}$，两边面积为 $1 {\rm cm^2}$）包围绝缘层，由 Gauss’s Law 可以求出电场：

$$ \mathscr{E}_\text{ox} = -\frac{Q_\text{acc}}{\varepsilon_\text{ox}} $$

为什么要加负号呢？简单来讲就是电场指向负x方向。（还要考虑正负啥的烦死了啊😣）

从而可以求出绝缘层上的分压：

$$ V_\text{ox} = \mathscr{E}_\text{ox} T_\text{ox} = -\frac{Q_\text{acc}}{C_\text{ox}} \tag{5.2.4} $$

其中，$C_\text{ox}=\dfrac{\varepsilon_\text{ox}}{T_\text{ox}}$ 是单位面积的 oxide capacitance（是个常量），$Q_\text{acc}$ 是单位面积的 accumulation charge。

从而结合 $(5.2.1)$，有：

$$ Q_\text{acc}=-C_\text{ox}(V_g-V_\text{fb}-\phi_s) \tag{5.2.5a} $$

上式中的三个电压都是负的。把 $Q_\text{acc} = qp_s=q e^{-q\phi_s/kT}$ 代入，这样一来就可以解出 $\phi_s$. 但这个解实在太复杂了，而且解出来的 $\phi_s$ 很小，所以我们干脆忽略 $\phi_s$：

$$ Q_\text{acc}=-C_\text{ox}(V_g-V_\text{fb}) \tag{5.2.5b} $$

也就是说，MOC capacitor 就是个电容器，只不过有一个 $V_\text{fb}$ 的 shift。既然这样，那积累的电荷不能只算衬底表面电荷，而是衬底所有的电荷 $Q_\text{sub}$，从而：

$$ V_\text{ox}=-Q_\text{sub}/C_\text{ox} $$

5.3 Surface Depletion

反过来，如果 $V_g$ 大于 $V_\text{fb}$ 会怎么样呢？从能带图中看，在衬底表面形成了 depletion region（像 PN 结那样），所以这种情况叫 surface depletion

半导体器件 figure5-6

耗尽层中没有空穴，只有带负电的施主离子，不能导电，根据上面的电容公式，有：

$$ V_\text{ox}=-\frac{Q_\text{sub}}{C_\text{ox}}=-\frac{Q_\text{dep}}{C_\text{ox}}=\frac{q N_a W_\text{dep}}{C_\text{ox}} $$

其中，根据上一章 4.2 节的公式，有 $W_\text{dep} = \sqrt{\dfrac{2 \varepsilon_s \phi_\text{bi}}{qN}}$（但某些变量不同），所以：

$$ V_\text{ox}= \frac{\sqrt{q N_a 2 \varepsilon_s \phi_s}}{C_\text{ox}} \tag{5.3.1} $$$$ 以及 \; \phi_s = \frac{q N_a W_\text{dep}^2}{2 \varepsilon_s} \tag{5.3.2} $$

把这俩玩意代入回咱的电压关系式：

$$ V_g = V_\text{fb}+\phi_s+V_\text{ox}=V_\text{fb}+\frac{q N_a W_\text{dep}^2}{2 \varepsilon_s}+\frac{q N_a W_\text{dep}}{C_\text{ox}} \tag{5.3.3} $$

可以看出，$W_\text{dep}$ 与 $V_g$ 存在一定关系。通过上式可以求出 $W_\text{dep}$，进而求出 $\phi_s$，进而求出 $V_\text{ox}$

5.4 Threshold Condition and Threshold Voltage

如果进一步加大 $V_g$ 电压呢？这样能带就会弯得更厉害，使得 $V_F$ 更靠近 $E_c$，这种情况下就不是耗尽了，而是 inversion，表面处不再是 P 型，而是 N 型（电子多于空穴）。

当表面的电子 $n_s=N_a$ 时，有 $(E_c-E_F)\_\text{surface}=(E_F-E_v)\_\text{bulk}$，也就是下图中，$A=B$，$C=D$，这种情况称为 threshold of inversion

半导体器件 figure5-7

此时，表面能带的弯曲程度记为 $\phi_{st}$，从图中可以看出 $\phi_{st}=(C+D)/q=2C/q=2\phi_B$。其中，$\phi_B$ 为：

$$ \begin{aligned} q\phi_B &\equiv \left. \frac{E_g}{2}-(E_F-E_v) \right\vert_\text{bulk}\\ &=k T \ln \frac{N_v}{n_i}-kT \ln \frac{N_v}{N_a}\\ &=kT\ln \frac{N_a}{n_i} \end{aligned} \tag{5.4.1} $$

所以：

$$ \phi_{st} = 2 \phi_B = 2 \frac{kT}{q} \ln \frac{N_a}{n_i} \tag{5.4.2} $$

此时 gate 上的电压 $V_g$ 称为 threshold voltage $V_t$，可以用之前的电压关系式求出：

$$ \begin{aligned} V_t &= V_\text{fb}+\phi_s+V_\text{ox}\\ &= V_\text{fb}+2 \phi_B+\frac{\sqrt{q N_a 2 \varepsilon_s 2\phi_B}}{C_\text{ox}} \end{aligned} \tag{5.4.3} $$

Caution

对于 N 型衬底，上述公式变为：

$$ V_t = V_\text{fb}+\phi_{st}-\frac{\sqrt{2 q N_d \varepsilon_s |\phi_{st}|}}{C_\text{ox}} $$$$ \phi_{st}=-2\phi_B $$$$ \phi_B=\frac{kT}{q}\ln \frac{N_d}{n_i} $$


看上去式子中符号很奇怪，但实际上符号与 P 型是相反的。

半导体器件 figure5-7-1

5.5 Strong Inversion Beyond Threshold

再再再次加大 $V_g$ 电压，衬底表面就会有反型层电子 inversion electrons，电荷密度 inversion charge density 为 $Q_\text{inv}$ （${\rm C/cm^2}$）。

半导体器件 figure5-9

但与我们预想的不同，此时能带不会进一步弯曲，$\phi_s$ 维持在最大值 $2\phi_B$（$\phi_B$ 是 $E_F$ 与 $E_i$ 的距离，见 fig 5-7），耗尽层也达到最大值：

$$ W_\text{dep} = \sqrt{\dfrac{2 \varepsilon_s \phi_s}{qN_a}}\\ \Rightarrow W_\text{dmax} = \sqrt{\dfrac{2 \varepsilon_s 2 \phi_B}{qN_a}} \tag{5.5.1} $$

那能带不进一步弯曲，电子又是从哪来的呢？答案是，电子来自于 MOS transistor 两端的 ${\rm N^+}$（见fig 5-10a）（或者可以通过 thermal generation）。有了这些电子，我们可以把表面看作是 N-type layer

半导体器件 figure5-10

既然衬底能带不进一步弯曲，那多出来的电压就只能降在中间，所以（$Q_\text{inv}<0$）：

$$ \begin{aligned} V_g &= V_\text{fb}+2\phi_B-\frac{Q_\text{dep}}{C_\text{ox}}\\ &=V_\text{fb}+2\phi_B+\frac{\sqrt{q N_a 2 \varepsilon+s 2 \phi_B}}{C_\text{ox}}-\frac{Q_\text{inv}}{C_\text{ox}}\\ &=V_t-\frac{Q_\text{inv}}{C_\text{ox}} \end{aligned} \tag{5.5.2} $$

综上，我们有：

$$ Q_\text{inv} = - C_\text{ox}(V_g-V_t) \tag{5.5.3} $$

说明在 strong inversion 时，MOS behaves like a capacitor except for a voltage offset of $V_t$

5.5.1 Choice of Vt and Gate Doping Type

MOS 一般都是工作在 $V_t$ 附近，所以我们希望这个电压最好小点，因此，p衬底要用 ${\rm P^+}$ gate，n衬底要用 ${\rm N^+}$ gate.（书上并没有进一步解释）

另外，有个概念要记一下：A transistor that does not conduct current at $V_g = 0$ is called an enhancement-type device.

小结

上面我们考虑了 $V_g$ 从负到正的情况，依次称为：

  • surface accumulation $V_g< V_\text{fb}$
  • flat-Band condtion $V_g=V_\text{fb}$
  • surface depletion $V_\text{fb}< V_g< V_t$
  • threshold of inversion $V_g=V_t$
  • strong inversion $V_g>V_t$
半导体器件 figure5-33
半导体器件 figure5-11

$\phi_s$ 的变化情况见上图，$W_\text{dep}$，$Q_\text{acc},Q_\text{dep},Q_\text{inv}$ 的变化情况见下图：

半导体器件 figure5-12

半导体器件 figure5-14

注意到在 Accumulation 和 Inversion region 均可以把 mos 看作电容。

5.6 MOS C-V Characteristics

通过测量 capacitance–voltage 可得到 gate oxide thickness, substrate doping concentration, threshold voltage, and flat-band voltage. 测量方法是在一定 DC 直流偏压下，加以一个交流小信号 $V_g$（1 kHz–10 MHz），然后测量交流电流，从而 $i_\text{ac}/v_\text{ac}=\omega C$

上面的 MOS theory 中的电容指的是 small-signal capacitance

$$ C \equiv \frac{\dif Q_g}{\dif V_g} = -\frac{\dif Q_\text{sub}}{\dif V_g} \tag{5.6.1} $$

之所有有个负号，是因为 $V_g$ 和 $Q_\text{sub}$ 不是在同一片的极板上，所以要加负号。通过对 fig 5-14 求导，可以得到 fig 5-16 中的 quasi-static C–V 曲线：

半导体器件 figure5-16

左边第一段是 $C_\text{ox}$（对应下图 a）；中间是 $C_\text{ox}$ 与 $C_\text{dep}$ 串联，由于 $W_\text{dep}$ 的厚度会变化，所以电容也会变化（对应下图 b）；最后 $W_\text{dep}$ 达到最大值，在 ${\rm Si-SiO_2}$ 有反型层电荷（由 ${\rm N^+}$ 提供），只有 $C_\text{ox}$（对应下图 c）

半导体器件 figure5-17

电容的准确公式如下：

$$ C_\text{dep}=\frac{\varepsilon_s}{W_\text{dep}} \tag{5.6.2} $$$$ \frac{1}{C}=\frac{1}{C_\text{ox}}+\frac{1}{C_\text{dep}} \tag{5.6.3} $$

根据公式 $(5.3.3)$：

$$ \begin{aligned} V_g &= V_\text{fb}+ \frac{q N_a W_\text{dep}^2}{2 \varepsilon_s}+\frac{q N_a W_\text{dep}}{C_\text{ox}}\\ &\Rightarrow \frac{2(V_g-V_\text{fb})}{q N_a \varepsilon_s}=\frac{1}{C_\text{dep}^2}+\frac{2}{C_\text{ox} C_\text{dep}} \\ &\Rightarrow \frac{2(V_g-V_\text{fb})}{q N_a \varepsilon_s}+\frac{1}{C_\text{ox}^2}=(\frac{1}{C_\text{dep}}+\frac{1}{C_\text{ox}})^2\\ &\Rightarrow \frac{1}{C}=\sqrt{\frac{2(V_g-V_\text{fb})}{q N_a \varepsilon_s}+\frac{1}{C_\text{ox}^2}} \end{aligned} $$

从上式中可以看出，当 $V_g>V_\text{fb}$ 时，$W_\text{dep}$ expands，$C$ 减小。

我们上面讨论的是 quasi-static C–V，之所以叫 quasi-static，是因为我们认为 $Q_\text{inv}$ 可以迅速响应 AC（也就是AC的变化速度要慢于 $Q_\text{inc}$ 从 ${\rm N^+}$ 进入反型层的速度）。

如果 AC 变化的速度很快，导致 $Q_\text{inv}$ 来不及从 ${\rm N^+}$ 进来，那么就相当于 fig 5-17d 中的情况（没有了 ${\rm N^+}$）。$Q_\text{inv}$ 不变，同时 $\phi_s=2\phi_B$ 不变，$W_\text{dep}=W_\text{dmax}$ 也不变，所以 $C$ 只能维持在最低点。这样就得到 high-frequency MOS capacitor C–V

半导体器件 figure5-18

5.7 Oxide Charge - A Modification

半导体器件 figure5-20

下面对 $V_\text{fv}$ 和 $V_t$ 的值进行一个修正。我们考虑 ${\rm SiO_2-Si}$ 表面电荷造成的电场对氧化层能带的影响，所以公式 $(5.1.1)$ 要修改为：

$$ \begin{aligned} V_\text{fb}&=\psi_g-\psi_s-Q_\text{ox}/C_\text{ox}\\ &=\psi_g-\psi_s-Q_\text{ox}T_\text{ox}/\varepsilon_\text{ox} \end{aligned} $$

根据式 $(5.4.3)$，$V_\text{fb}$ 会影响 $V_t$.

表面电荷并不是由电场导致的，而是本身就存在的。由很多种 oxide charge，比如：mobile oxide charge，sodium contamination， interface traps（interface states）

5.8 Poly-Si Gate Depletion

半导体器件 figure5-23

gate 的能带存在弯曲，如图 fig 5-23，产生的 poly-Si gate depletion 的厚度为：

$$ W_\text{dpoly}=\varepsilon_\text{ox} \mathscr{E}_\text{ox}/qN_\text{poly} $$

我们一般把 $C_\text{ox}$ 和 $C_\text{poly}$ 合在一起考虑：

$$ \begin{aligned} C &= \left( \frac{1}{C_\text{ox}}+\frac{1}{C_\text{poly}} \right)^{-1}\\ &= \left( \frac{T_\text{ox}}{\varepsilon_\text{ox}}+\frac{W_\text{dpoly}}{\varepsilon_s} \right)^{-1}\\ &= \frac{\varepsilon_\text{ox}}{T_\text{ox}+W_\text{dpoly}\varepsilon_\text{ox}/\varepsilon_s}\\ &= \frac{\varepsilon_\text{ox}}{T_\text{ox}+W_\text{dpoly}/3} \end{aligned} \tag{5.8.2} $$

从上式来看，相当于 $T_\text{ox}$ 增加到 $T_\text{ox}+W_\text{dpoly}/3$，这种效应称为 poly-depletion effect

这种效应会导致 $C$ 减小，导致 $Q_\text{inv}$ 减小，减小 transistor current. 我们可以用下面这公式来衡量 poly-gate depletion 对 $Q_\text{inv}$ 的影响：

$$ Q_\text{inv} = -C_\text{ox} (V_g-\phi_\text{poly}-V_t)\\ W_\text{dpoly}=\sqrt{\frac{2\varepsilon_s \phi_\text{poly}}{q N_\text{poly}}} $$
半导体器件 figure5-26

要减小这种效应，有几种方式：

  • dope the poly-Si heavily
    • 坏处：导致杂质渗入 oxide
  • substitute the poly-gate with a metal gate（MOSFET）

5.9 Charge-Layer Thicknesses and Quantum Mechanical Effect

前面我们把反型层电荷看作集中在 ${\rm Si-SiO_2}$ 表面，但实际上这部分电荷是有一定厚度的，我们可以通过 Schrödinger equation and Poisson’s equation 解出来，所以我们将这个称为 quantum mechanical effect

半导体器件 figure5-24

电荷分布的平均厚度为 inversion-layer thickness，$T_\text{inv}$，它和 gate depletion layer 一样对 $C$ 有影响，我们可以用 $(5.8.2)$ 类似的方法得到：

$$ T_\text{oxe}=T_\text{ox}+W_\text{dpoly}/3+T_\text{inv}/3 \tag{5.9.2} $$

$T_\text{oxe}$ 称为 electrical oxide thickness，可认为是 total effective oxide thickness，对应的电容称为 effective gate capacitance $C_\text{oxe}$，关系式如下：

$$ \begin{aligned} Q_\text{inv}&=-C_\text{oxe}(V_g-V_t)\\ &=\frac{\varepsilon_\text{ox}}{T_\text{oxe}}(V_g-V_t) \end{aligned} \tag{5.9.3} $$

对上面各个电容的总结见下图：

半导体器件 figure5-27
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Electrons and Holes in SemiconductorsMOS Transistor