PN and Metal-Semiconductor Junctions
$$ \begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\belowarrow}[1]{\mathop{#1}\limits_{\uparrow}} \newcommand{\bd}{\boldsymbol} \newcommand{\L}{\mathscr{L}} \end{align*} $$PN junction 就是 P-type 和 N-type 靠在一起，其主要特性是 rectifying current–voltage（见 fig 4-2），所以也叫 rectifier or diode，
4.1 Building Blocks of the PN Junction Theory
为了简化分析，假设 P-N 之间的浓度时突变的，这种 PN junction 称为 step junction or abrupt junction
4.1.1 Energy Band Diagram and Depletion Layer of a PN Junction
简单来说就是在一定温度下，费米能级不变，那么导带和价带就要弯曲（见 fig 4-3），这样就会形成三个区域：
- 左边：the neutral N layer
- 右边：the neutral P layer
- 中间：depletion layer 费米能级在中间，表示 $n\approx p \approx 0$
4.1.2 Built-In Potential
我们用 built-in potential $\phi_\text{bi}$ 表示能带的弯曲程度，即 $E_c$ 最高点减最低点的差值。
利用图 fig 4-4，可以计算出 $\phi_\text{bi}$：
$$ \text{N-region} \quad n=N_d=N_c e^{-qA/kT} \Rightarrow A = \frac{kT}{q} \ln \frac{N_c}{N_d}\\ \text{P-region} \quad n=\frac{n_i^2}{N_a}=N_c e^{-qA/kT} \Rightarrow B=\frac{kT}{q}\ln \frac{N_cN_a}{n_i^2} $$$$ \phi_\text{bi} = B-A = \frac{kT}{q} \ln \frac{N_dN_a}{n_i^2}\\ 其中，n_i=\sqrt{N_c N_v} e^{-E_g/2kT}\\ 所以，\phi_\text{bi} = \frac{kT}{q} \ln \frac{N_dN_a}{N_c N_v}+\frac{E_g}{q} $$从式中可以看出，如果浓度 $N_a,N_d$ 增大，则 $\phi_\text{bi}$ 也会增大。
另外，对电子来说，$E_c$ 越小，电压越高，所以内建电场的方向是从 N 指向 P。同时电压越高，电势越大，如果选取 P 区为 0 电位，那么最大的电势就是 $\phi_\text{bi}$
4.1.3 Poisson’s Equation
根据Gauss’s Law：$\int_V \nabla\cdot\vec{E}\dif V =\frac{1}{\varepsilon_s}\int_V\rho\dif V$，我们可以构造上图的高斯面，得到 Poisson’s equation：
$$ \begin{aligned} \mathscr{E}(x+\Delta x) \cdot A- \mathscr{E}(x) \cdot A &= \frac{\rho \Delta x A}{\varepsilon_s}\\ \frac{\mathscr{E}(x+\Delta x)- \mathscr{E}(x)}{\Delta x} &= \frac{\rho}{\varepsilon_s}\\ \frac{\dif \mathscr{E}}{\dif x} &= \frac{\rho}{\varepsilon_s}\\ \frac{\dif^2 V}{\dif x^2} = - \frac{\dif \mathscr{E}}{\dif x} &= -\frac{\rho}{\varepsilon_s} \end{aligned} $$硅的绝对介电常数为 $\varepsilon_s=12\varepsilon_0$，$\varepsilon_0=8.854 × 10^{-12} \text{F/m}$
利用 Poisson’s equation，我们可以分析 depletion layer 的情况。
4.2 Depletion-Layer Model
4.2.1 Field and Potential in the Depletion Layer
本节的任务就是对上图进行一个解释。上图描述的是 depletion layer 的情况。我们将 PN 分界面处定为 $x=0$。
在反型层中（$x=0$ 附近），$n,p$ 几乎相互抵消，只剩下带正电的 donor 离子，和带负电的 accepter 离子。利用泊松方程，可以得到：
$$ \frac{\dif \mathscr{E}}{\dif x} = \frac{\rho}{\varepsilon_s} = \begin{cases} \dfrac{-q N_a}{\varepsilon_s}\\ \dfrac{q N_d}{\varepsilon_s} \end{cases}\\ \Rightarrow \mathscr{E}(x) = \begin{cases} -\frac{q N_a}{\varepsilon_s} x +C_1 & x>0\\ \frac{q N_d}{\varepsilon_s} x +C_2 & x<0 \end{cases} $$积分引入了两个常量 $C_1,C_2$，故我们加入边界条件：电场在 $x_P,x_N$ 处为 $0$（可以看作是反型层的宽度），则：
$$ \mathscr{E}(x) = \begin{cases} \frac{q N_a}{\varepsilon_s} (x_P-x) & x>0\\ \frac{q N_d}{\varepsilon_s} (x-x_N) & x<0 \end{cases} $$因为电场是连续的，所以在 $x=0$ 处，有：
$$ N_a |x_P| = N_d |x_N| \tag{4.2.5} $$综上，我们可以画出 fig 4-6 的图 (c) 和 (d)。注意图 (c) 中，两个阴影面积是相等的。
另外，由于电势是电场在路径上的积分，所以对 (d) 积分得到 (e). （设 P 区为 0 电势点）
$$ V(x)= \begin{cases} \frac{qN_a}{2\varepsilon_s}(x_P-x)^2 & 0\leq x \leq x_P\\ \phi_\text{bi} - \frac{qN_d}{2 \varepsilon_2}(x-x_N)^2 & x_N\leq x\leq 0 \end{cases} \tag{4.2.6} $$而对于电子来说，能带向电势高的地方弯曲，所以 (e) 上下反转得到 (f)
下面我们来考虑两种极端情况：$N_a \gg N_d$ 或 $N_d \gg N_a$，因为一边的浓度远大于另一边，所以称为 one-sided junction，前者称为 ${\rm P^+ N}$ junction，后者称为 ${\rm N^+ P}$ junction
根据公式$(4.2.5)$，容易看出浓度与宽度成反比，也就是说，反型层几乎集中在浓度低的那一边，浓度高的那边的反型层可以忽略。这种情况与后面要学的 metal-semicondutor junction 很类似，因此我们可以将高掺杂的一端看作金属。
4.2.2 Depletion-Layer Width
上面我们好像凭空引入了 $x_P,x_N$，但实际上 $x_P,x_N$ 受到两个条件的限制：
$$ \begin{cases} N_a |x_P| = N_d |x_N| &电场连续\\ V(x_N)-V(x_P)=\phi_\text{bi} &电势差一定 \end{cases} $$我们先使用电势差恒定这个条件，考虑 $V(x)$ 在 $x=0$ 处的值，有：
$$ \frac{qN_a}{2\varepsilon_s}x_P^2 = \phi_\text{bi} - \frac{qN_d}{2 \varepsilon_2} x_N^2 $$将电场连续的条件代入上式，可以解出：
$$ |x_N|=\sqrt{\phi_\text{bi}\bigg/\frac{q}{2\varepsilon_s}\frac{N_d}{N_a}\left( N_a + N_d \right)}\\ |x_P|=\sqrt{\phi_\text{bi}\bigg/\frac{q}{2\varepsilon_s}\frac{N_a}{N_d}\left( N_a + N_d \right)} $$$$ \begin{aligned} |x_P| + |x_N| &= \sqrt{\frac{2 \varepsilon_s \phi_\text{bi}}{q(N_a+N_d)}} \cdot \left( \sqrt{\frac{N_d}{N_a}}+ \sqrt{\frac{N_a}{N_d}}\right) \\ &= \sqrt{\frac{2 \varepsilon_s \phi_\text{bi}}{q(N_a+N_d)}} \cdot \left( \frac{N_d}{\sqrt{N_a N_d}}+ \frac{N_a}{\sqrt{N_a N_d}}\right) \\ &= \sqrt{\frac{2 \varepsilon_s \phi_\text{bi}}{q}\left( \frac{1}{N_a}+\frac{1}{N_d} \right)} \end{aligned}\tag{4.2.8} $$我们将 $\vert x_P\vert + \vert x_N\vert$ 记为 Depletion-Layer Width $W_\text{dep}$
- If $N_a \gg N_d$, as in a ${\rm P^+N}$ junction, $$ W_\text{dep} \approx \sqrt{\frac{2 \varepsilon_s \phi_\text{bi}}{qN_d}} \approx |x_N| \tag{4.2.9} $$
- If $N_d \gg N_a$, as in an $\rm{ N^+P}$ junction, $$ W_\text{dep} \approx \sqrt{\frac{2 \varepsilon_s \phi_\text{bi}}{qN_a}} \approx |x_P| \tag{4.2.10} $$
再次说明了杂质浓度与宽度成反比。我们设 $N_a,B_d$ 中较小的浓度为 $N$，则上两式可统一为：
$$ W_\text{dep} = \sqrt{\frac{2 \varepsilon_s \phi_\text{bi}}{qN}} $$4.3 Reverse-Biased PN Junction
前两节都在讲平衡时的情况，如果在 P 区加负电压，N 区加正电压，这种情况称为 reverse-biased。反向偏压会使得电势差加大，即：
$$ \phi_\text{bi} \rightarrow \phi_\text{bi} +V_r $$代入 $W_\text{dep}$ 中可以得到：
$$ W_\text{dep} = \sqrt{\frac{2 \varepsilon_s (\phi_\text{bi} +V_r)}{qN}} $$反偏电压使得 N 中的空穴流向 P，P中电子流向 N，但由于这两个都是少子，所以电流很小。从而 N、P 区的电压降 $IR$ 可以忽略，电压降全部加在 depletion layer 上。
请自己画一下此时的电荷分布、电场、电势、能带图。（tips：掺杂浓度小的一端宽度增大的幅度更大，另外，电势的斜率只取决于掺杂浓度）
4.4 Capacitance-Voltage Charateristics
我们将反偏时的 PN junction 看作一个平行板电容器：
$$ C_\text{dep} = A\frac{\varepsilon_s}{W_\text{dep}} \tag{4.4.1} $$
将 $W_\text{dep}$ 代入得：
$$ \frac{1}{C_\text{dep}^2} = \frac{W_\text{dep}^2}{A^2 \varepsilon_s^2}=\frac{2(\phi_\text{bi}+V_r)}{q N \varepsilon_s A^2} $$从而我们可以通过测量不同反偏电压 $V_r$ 下得电容值来得到 $\phi_\text{bi}$ （$\text{intercept} = -\phi_\text{bi}$）
4.5 Junction Breakdown
Junction Breakdown 指的是当反偏电压大于某个值时，电流急剧增大的情况。
4.5.1 Peak Electric Field
回想 4.2.1 中得 Fig 4-6，$\mathscr{E}$ 在 $x=0$ 时取最大值，称为 peak electric field $\mathscr{E}_p$。为了简化运算，我们考虑 one-sided junction，比如 ${\rm N^+P}$ 下的 $\mathscr{E}(0)$ ：
$$ \mathscr{E}_p = \mathscr{E}(0)=\frac{q N_a}{\varepsilon_s} x_P = \sqrt{\frac{2 qN}{\varepsilon_s}(\phi_\text{bi}+V_r)} $$当 $\mathscr{E}(0)$ 大于某个特定值 $\mathscr{E}_\text{crit}$ 时就会发生击穿。可求出击穿电压为：
$$ V_B = \frac{\varepsilon_s \mathscr{E}_\text{crit}^2}{2qN}-\phi_\text{bi} $$
4.5.2 Tunneling Breakdown
当两端都重掺杂时，随着反偏电压加大，P区价带已经高于 N 区导带，而且他俩中间的距离很短，就会有大量电子跳过去（因为电子是波函数）
tunneling current density：$J = G e^{-H/\mathscr{E}_p}$
隧道击穿一般发生在重掺杂，击穿电压较小。
4.5.3 Avalanche Breakdown
当反偏电压很大很大时，depletion layer 中的导带电子有很大的 kinetic energy，甚至可以轰击价带电子，使其电离，这种现象称为 impact ionization
电离产生的电子-空穴对同样能加速，撞击其他电子，这个过程不断重复，像雪崩一样，所以称为 avalanche breakdown
电压差 $\phi_\text{bi}+V_r$ 大到一定程度才会发生雪崩击穿。所以要增大雪崩击穿的电压，就要减小 $\phi_\text{bi}$，即减小掺杂浓度。此外，$E_g$ 越大就越难电离，所以 $E_g$ 增大也能增大雪崩击穿的电压。
4.6 Carrier Injection Under Forward Bias
正偏时，内建电场减小，电子能从 N 区扩散到 P 区，此时 P 区的少子增加，称为 minoritycarrier injection。空穴同理。
我们将无偏压下（平衡态）的少子浓度记为 $n_{P0}$（P区） 和 $p_{N0}$ （N区），那么，正偏下，在 P 区边缘：
$$ \begin{aligned} n(x_P)&=N_c e^{-(E_c-E_{Fn})/kT}\\ &= N_c e^{-(E_c-E_{Fp})/kT} \cdot e^{(E_{Fn}-E_{Fp})/kT}\\ &=n_{P0} e^{(E_{Fn}-E_{Fp})/kT}\\ &= n_{P0} e^{qV/kT} \end{aligned} $$
从而有 quasi-equilibrium boundary condition or the Shockley boundary condition：
$$ \begin{aligned} n(x_P)&= n_{P0} e^{qV/kT}=\frac{n_i^2}{N_a} e^{qV/kT} \\ n(x_N)&= n_{N0} e^{qV/kT}=\frac{n_i^2}{N_d} e^{qV/kT} \end{aligned} \tag{4.6.2} $$或者写成 excess minority carrier concentrations：
$$ \begin{aligned} n'(x_P)&= n(x_P) - n_{P0}=n_{P0} (e^{qV/kT}-1) \\ n'(x_N)&= n(x_N) - n_{N0}=n_{N0} (e^{qV/kT}-1) \end{aligned} \tag{4.6.3} $$上面的公式请牢记。我们下面会多次用到。
4.7 Current Continuity Equation
为了研究正偏时，少子在 N 和 P区的情况，我们构建上图中的模型。以在 N 区为例，在 $\Delta x$ 的长度内，有 $A\cdot \Delta x \cdot p$ 这么多的空穴，并且有 $A\cdot J_p/q$ 的空穴电流从 P 区注入，电流进去时是 $J_p(x)$，出去时是 $J_p(x+\Delta x)$，中间有一部分复合掉了，所以有：
$$ A \cdot \frac{J_p(x)}{q} = A \cdot \frac{J_p(x+\Delta x)}{q} + A \cdot \Delta x \cdot \frac{p'}{\tau}\\ -\frac{J_p(x+\Delta x)-J_p(x)}{q} = q\frac{p'}{\tau}\\ -\frac{\dif J_p}{\dif x} = q\frac{p'}{\tau} $$而电流主要是以 diffusion current 为主，所以进行替换后有：
$$ q D_p \frac{\dif^2 p}{\dif x^2} = q\frac{p'}{\tau_p} $$$D_p$ 是空穴的扩散系数 diffusion constant. 由于 $p=p_0+p'$，$p_0$ 取决于 $N_a$，是不变的，所以微分部分可以减去常数 $p_0$，并进行变形：
$$ \frac{\dif^2 p'}{\dif x^2} = \frac{p'}{D_p\tau_p}=\frac{p'}{L_p^2} \tag{4.7.5}\\ 其中，L_p \equiv \sqrt{D_p \tau_p} $$同理，对于电子有：
$$ \frac{\dif^2 n'}{\dif x^2} = \frac{n'}{L_n^2} \tag{4.7.7}\\ 其中，L_n \equiv \sqrt{D_n \tau_n} $$$L_n$ 和 $L_p$ 称为电子和空穴的 diffusion lengths
4.8 Excess Carriers in Forward-Biased PN Juntion
我们将 P 区放在左边，这样的话电流方向为正。同时，我们假设 $x_P,x_N$ 靠近于 $x=0$，因为 $x_P,x_N$ 的数量级小于我们后面要研究的量。
对于 N 区，要解出 $\dfrac{\dif^2 p'}{\dif x^2}=\dfrac{p'}{L_p^2}$，需要用到两个边界条件：
$$ \begin{cases} p'(\infty)=0\\ p'(x_N)=p_{N0} (e^{qV/kT}-1) \end{cases} $$将上面两个条件代入通解中，可以解出：
$$ p'(x)=p_{N0} (e^{qV/kT}-1)e^{-(x-x_N)/L_p}, x>x_N \tag{4.8.2} $$同理，在 P 区，可以解出：
$$ n'(x)=n_{P0} (e^{qV/kT}-1)e^{(x-x_P)/L_n}, x< x_P \tag{4.8.3} $$$x_N,x_P$ 和 $L_n,L_p$ 带来的影响比较小（一般都是同一数量级），主要看 $p_{N0}$ 和 $n_{P0}$，由于掺杂越少，少子就越多，因此可以得出：轻掺杂一侧的少子注入更多。
最后补充一下能带图（fig 4-19(b)），其中，斜的虚线是由于少子注入而产生的。
4.9 PN Diode I-V Characteristics
将 $(4.8.2)$ 和 $(4.8.3)$ 代入扩散电流方程，有：
$$ J_{pN}= - q D_p \frac{\dif^2 p'(x)}{\dif x^2}=q \frac{D_p}{L_p} p_{N0} (e^{qV/kT}-1)e^{-(x-x_N)/L_p} \tag{4.9.1} $$$$ J_{nP}= - q D_n \frac{\dif^2 n'(x)}{\dif x^2}=q \frac{D_n}{L_n} n_{P0} (e^{qV/kT}-1)e^{-(x-x_P)/L_n} \tag{4.9.2} $$根据电流连续性方程，电流处处相等，所以总电流为：
$$ \begin{aligned} J &= J_{pN}+J_{nP}\\ &= \left( q \frac{D_p}{L_p} p_{N0}+q \frac{D_n}{L_n} n_{P0} \right) (e^{qV/kT}-1)\\ \end{aligned} \tag{4.9.3} $$$$ I=I_0 (e^{qV/kT}-1) \tag{4.9.4} $$$$ I_0=A \cdot q n_i^2 \left( \frac{D_p}{L_p N_d}+\frac{D_n}{L_n N_a} \right) \tag{4.9.5} $$做一些解释：上面我们是通过算 $x=0$ 处的电流和来求总电流。因为 $x_N,x_P$ 的数量级远小于 $L_p,L_n$，所以最后的指数项就当作 1 去掉了。最后一条式中，$A$ 是diode area，$I_0$ 是 reverse saturation current 反向饱和电流。
下图是电流密度分布，还是那句话：轻掺杂一侧的少子注入更多，电流越大
二极管的I-V特性如下图，室温下的 turnon voltage 大概是 0.6V，并且随温度升高向左移动（温度越高，$n_i$ 越大，$I_0$ 越大）
4.9.1 Contributions from the Depletion Region
上面我们忽略了 depletion layer 的影响，但实际上，载流子在耗尽层存在复合。我们将耗尽层对电流的影响称为：SCR current 或 space-charge region current（空间电荷区电流）
在空间电荷区，我们有：
$$ \begin{aligned} pn &= N_c N_v e^{-(E_c-E_v)/kT} e^{-(E_{F_p}-E_{F_n})/kT}\\ &=n_i^2 e^{qV/kT} \end{aligned} $$因为没办法求出耗尽层中的 $n,p$ 分布，我们只知道当 $n \approx p \approx n_i e^{qv/2kT}$ 时复合率最大，所以复合率大概是：
$$ \text{Net recombination rate per unit volume} = \frac{n_i}{\tau_\text{dep}}\left( e^{qV/2kT}-1 \right) $$$\tau_\text{dep}$ is the generation/recombination lifetime in the depletion layer.（不太清楚这是啥，总之题目会给吧），后面减 1 是为了在没有偏压时，净复合率为 0.
由于在耗尽层中产生的电子-空穴对受内建电场的影响，产生的电流方向与外电流的方向相反，所以复合「反而」对总电流有正的贡献😮，从而修正后的电流为：
$$ I=I_0 (e^{qV/kT}-1) + A \frac{ q n_i W_\text{dep}}{\tau_\text{dep}}\left( e^{qV/2kT}-1 \right) \tag{4.9.4} $$第二项是 SCR current。因为存在这一项，所以注意看下图的 data，在 $I<10^{-7} \text{A}$ 时，斜率是 120mV/decade，而非 60mV/decade
同时，reverse leakage current 反向饱和电流为：
$$ I_\text{leakage} = I_0+A \frac{q n_i W_\text{dep}}{\tau_\text{dep}} \tag{4.9.10} $$4.10 Charge Storage
因为 PN diode 在正偏时存在少子注入，也就是说它有过剩载流子，相当于可以存储电荷，这称为 charge storage。显然注入的越多，存得越多，所以 $Q \propto I$，在稳态下，注入率=复合率，即：
$$ I=Q/\tau_s \tag{4.10.1}\\ Q=I\tau_s $$$\tau_s$ is called the charge-storage time. In a one-sided junction, $\tau_s$ is the recombination lifetime on the lighter-doping side, where charge injection and recombination take place.
4.11 Small-Signal Model of the Diode
diode 在高频小信号电路中等效为 RC 并联：
$$ G \equiv \frac{1}{R} = \frac{\dif I}{\dif V} = \frac{q}{kT} I_0 e^{qV/kT} = I_\text{DC} / \frac{kT}{q} \tag{4.11.1} $$$$ C = \frac{\dif Q}{\dif V}=\tau_s \frac{\dif I}{\dif V} = \tau_s I_\text{DC} / \frac{kT}{q} \tag{4.11.2} $$室温下，$G=I_\text{DC}/26\text{mV}$. 从上两式可以看出，RC 延迟就是 charge storage time $\tau_s$，所以这个电容也称为 diffusion capacitance 或 charge-storage capacitance. 书上还说可以加上 $C_\text{dep}=A\varepsilon_s/W_\text{dep}$
4.12~4.15 略
主要讲的是一些应用。
4.16 Schottky Barriers
two kinds of metal–semiconductor junction：
- Schottky diodes： metal and lightly doped semiconductors
- ohmic contacts：metal and heavily doped semiconductors
金属的一大特性就是“电子海洋”，即在 $E_F$ 下，电子全满；在 $E_F$ 上，电子全空。根据这个特点，我们可以像 PN junction 那样画出能带图（fig4-34）：
$\phi_B$ 称为 Schottky barrier height，常见金属的肖特基势垒如下表：
| Metal | Mg | Ti | Cr | W | Mo | Pd | Au | Pt |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\phi_{Bn}$（V） | 0.4 | 0.5 | 0.61 | 0.67 | 0.68 | 0.77 | 0.8 | 0.9 |
| $\phi_{Bp}$（V） | 0.61 | 0.50 | 0.42 | 0.3 | ||||
| $\psi_M$（V） | 3.7 | 4.3 | 4.5 | 4.6 | 4.6 | 5.1 | 5.1 | 5.7 |
肖特基势垒与 metal work function、electron affinity 的关系如下：
$$ \phi_{Bn}=\phi_M -\chi_\text{Si} $$
可惜实际并非如此理想，在表面处存在 dipole（极子？），它使得 $\phi_{Bn}$ 不能远离 0.7V，故修正为：
$$ \phi_{Bn}=0.7 \text{V} + 0.2 (\phi_M - 4.75) $$下面来推导 $\phi_B$ 的相关公式，从图 fig 4-36a 可得到：
$$ q \phi_\text{bi}=q\phi_{Bn} - (E_c-E_F)=q \phi_{Bn} - kT \ln \frac{N_c}{N_d} $$前面 4.4 已经说过可以用 C-V 求出 $\phi_\text{bi}$
$$ \frac{1}{C^2}=\frac{2(\phi_\text{bi}+V)}{q N_d \varepsilon_s A^2} $$
4.17 Thermionic Emission Theory
下面我们用 thermionic emission theory 热电子发射理论来分析外加电压下的电流情况。我们用 $J_{\rm S\rightarrow M}$ 表示从半导体流向金属的电流。当我们在金属上加一个正压，这种情况类似于 PN 正偏，会减小半导体一侧的势垒，从而表面处的电子浓度为：
$$ n = N_c e^{-q(\phi_B-V)/kT}= 2 \left[ \frac{2 \pi m_n kT}{h^2} \right]^{3/2} e^{-q(\phi_B - V)/kT} \tag{4.17.1} $$电子做无规则热运动，其中，在 x 负方向的速度分量平均为：
$$ v_\text{thx} = -\sqrt{2kT/\pi m_n} $$下标的 th 表示热，x 表示方向。从而我们可以写出电流密度：
$$ J_{\rm S\rightarrow M}=-\frac{1}{2} qnv_\text{thx} = \frac{4\pi q m_n k^2}{h^3} T^2 e^{-q \phi_B /kT} e^{qV/kT}\\ \equiv J_0 e^{qV/kT} \tag{4.17.3} $$为了简化书写，我们记：
$$ I_0 = AKT^2 e^{-q \phi_B /kT}\\ K=\frac{4\pi q m_n k^2}{h^3} $$$K\approx 100 {\rm A/(cm^2/K)}$ 称为 Richardson constant，
4.18 Schottky Diodes
在零偏压下，金属到半导体、半导体到空穴的电流大小都等于 $I_0$，净电流为 0（fig 4-39a）.
在正偏压（M正N-S负）下，半导体到空穴的电流增加 $e^{qV/kT}$ 倍，所以净电流为（fig 4-39b）：
$$ I = J_{\rm S\rightarrow M} + J_{\rm M\rightarrow S} = I_0 e^{qV/kT} - I_0=I_0 (e^{qV/kT}-1) \tag{4.18.4} $$上式同样可以用于求解反偏的情况。反偏电压较大的情况下，我们可以认为 $J_{\rm S\rightarrow M} \approx 0$，所以反偏电流为 $-I_0$（fig 4-39c）
4.19 Applications of Schottky Diodes
尽管肖特基和PN都有相同的 IV 表达式：
$$ I=I_0 (e^{qV/kT}-1) \tag{4.19.1} $$但是，肖特基的 $I_0$ 一般比 PN 大 $10^3-10^8$ 倍，因为金属的 $\phi_B$ 比较小。因此，肖特基的电流比较大，常用于大电流整流。
另外，肖特基整流过程中的少子电流基本可以忽略，即 negligible storage of excess minority carriers，所以它的电容效应小，速度更快。
4.20 Quantum Mechanical Tunneling
大概说的是，电子波有一定概率能穿过势垒，称为 quantum mechanical tunneling。这个概率 tunneling probability 大概是：
$$ P \approx \exp\left( -2 T \sqrt{\frac{8 \pi ^2 m}{h^2}}(V_H-E) \right) $$$m$ is the effective mass and $h$ is the Planck’s constant.
4.21 Ohmic Contacts
上一节中说过器件通过金属来连接，且接触点的电阻要够小，这样金属与半导体之间就形成了 ohmic contacts。
要达成这个目标，半导体要高掺杂，并且要足够薄（十几 $Å$，埃 $10^{-10}$），这样电子就能通过 tunneling 形成电流。
还记得上面的隧穿概率吗，在这里，势垒高度为 $\phi_{Bn}$，势垒宽度为 $W_\text{dep}/2$，所以我们可以计算出概率：
$$ T \approx W_\text{dep}/2=\sqrt{\varepsilon_s \phi_{Bn}/(2qN_d)}\\ P\approx e^{-H\phi_{Bn}/\sqrt{N_d}}\\ 其中，H\equiv \frac{4\pi}{h} \sqrt{(\varepsilon_s m_n)/q} $$则电流为：
$$ J_{\rm S\rightarrow M}=-J_{\rm M\rightarrow S}\approx \frac{1}{2} q N_d v_\text{thx} P\\ v_\text{thx} = -\sqrt{2kT/\pi m_n} \quad和 4.17 中的一样 $$之所以要加 $\frac{1}{2}$ 是因为只有一半的电子在朝那个方向跑，另一半傻逼在往另一个方向跑。
当外加偏压时（如图 4-44b），$\phi_{Bn}$ 变为 $(\phi_{Bn} - V)$，电流为：
$$ J_{\rm S\rightarrow M}=\frac{1}{2} q N_d v_\text{thx} e^{-H(\phi_{Bn} - V)/\sqrt{N_d}} $$考虑在 $V=0$ 附近的小电压下，可以求出：
$$ \begin{aligned} J &= \left. \frac{\dif J_{\rm S\rightarrow M}}{\dif V} \right|_{V=0}\cdot V\\ &=V \cdot \frac{1}{2} q v_\text{thx} H \sqrt{N_d} e^{-H \phi_{Bn}/\sqrt{N_d}} \end{aligned}\tag{4.21.6} $$电阻为：
$$ R_c \equiv \frac{V}{J} = \frac{2 \cdot e^{H \phi_{Bn}/\sqrt{N_d}}}{q v_\text{thx} H \sqrt{N_d}}\\ \propto e^{H \phi_{Bn}/\sqrt{N_d}} \tag{4.21.7} $$这个是 $1 {\rm cm^2}$ 的电阻，称为 specific contact resistance（单位：${\rm \Omega/cm^2}$）。经过相应的替换（$\phi_{Bp},m_p,N_a$）可以得到 ${\rm P^+}$ 的情况。
温度升高，会使得 $v_\text{thx}$ 增大，从而电阻减小。
