假设检验

什么是假设检验：假如你是法官，则根据“疑罪从无”，我们先假设被告人无罪；如果有证据推翻了这一假设，则说明被告有罪。

假设检验的过程：

1. 建立两个完全对立的假设：原假设（零假设） $H_0$，备择假设（对立假设） $H_1$
   • 原假设与备择假设是不对称的，一般根据立场、惯例、方便性来选择。一般有如下几个原则：
   • 保护原假设：如果假设 $A$ 误判为假的后果更严重，则 $A$ 作为原假设。比如：“某种药物有毒副作用” 应该为原假设
   • 原假设为维持现状：原假设常选取“无效果”、“无改进”、“无差异”，从而拒绝原假设表示有较强的理由支持备择假设。比如：“某种药物没有减肥效果”应为原假设
   • 原假设取简单假设：只有一个参数的假设称为简单假设。如果只有一个假设是简单假设，则将其作为原假设。比如：
     • 左边检验：$H_0:\theta=\theta_0$，$H_1=\theta<\theta_0$（效果与 $H_0:\theta\geq\theta_0$，$H_1=\theta<\theta_0$ 相同）
     • 右边检验：$H_0:\theta=\theta_0$，$H_1=\theta>\theta_0$ （效果与 $H_0:\theta\leq\theta_0$，$H_1=\theta>\theta_0$ 相同）
     • 双边检验：$H_0:\theta=\theta_0$，$H_1=\theta\neq\theta_0$
2. 检验假设：根据收集到的数据，通过临界值法、P值法等方法进行判断
   • 与原假设 $H_0$ 相关的统计量 $T=T(X_1,\cdots,X_n)$ 称为 检验统计量，相应的，拒绝原假设的样本值的范围称为 拒绝域 $W$，补集 $\overline{w}$ 称为 接受域

由于样本具有随机性，所以在检验时可能会出现如下两类错误：

对应犯错的概率：

Note

解：$C$ 的右边是拒绝域，拒绝域与 $P_{\mu_0}$ 的交集即第一类错误；同理，接受域与 $P_{\mu_1}$ 的交集即第二类错误。故：

$$ \alpha = P_{\mu_0}(\overline{X}\geq C)\\ \beta = P_{\mu_1}(\overline{X}

从上题中可以看出，两类错误是相互制约的，$\alpha$ 小，$\beta$ 就会增大。为了找到一个平衡点，我们引入 Neyman-Pearson 原则：

• 首先控制第一类错误的概率不超过某个常数 $\alpha\in(0,1)$（称为 显著水平），再寻找检验 $C$，使犯第二类错误的概率尽可能小。

常取 $\alpha=0.01,0.05,0.1$ 等。

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这里我们就可以介绍 临界值法：先取一定的显著水平，然后根据原假设的统计量的分布确定临界值，最后将样本与临界值进行比较，得出结论。

Tip

例题：某种减肥药宣称有减肥效果。9 位试验者服用后，减肥前的体重减去减肥后的体重如下：1.5， 0.6， -0.3， 1.1， -0.8， 0， 2.2， -1.0， 1.4。问该减肥药是否有减肥效果？

Note

解：可以认为体重服从正态分布。原假设 $H_0$：无减肥效果，$\mu=0$；备择假设 $H_1$：有减肥效果 $\mu>0$。

若原假设成立，则 $\frac{\overline{X}}{0.6/\sqrt{9}}\sim N(0,1)$，犯第一类错误的概率如下：

$$ \begin{align} P\{\overline{X}\geq C | \mu=0 \}&=P\{\frac{\overline{X}}{\sigma/\sqrt{n}}\geq \frac{C}{\sigma/\sqrt{n}} \Big| \mu=0 \}\\ &=1-\Phi(\frac{C}{\sigma/\sqrt{n}})\leq \alpha=0.05 \end{align}\\ $$

通过查表可知，正态分布的上0.05分位数为：1.645，故：$\frac{C}{0.6/\sqrt{9}}\geq 1.645 $$\Rightarrow C \geq 0.329\\$。为了使犯第Ⅱ类错误的概率尽可能小，取 $C=0.329$。拒绝域为 $W=\{\overline{X}\geq0.329\}$。

而样本均值为 $0.522>0.329$，当原假设成立时，样本落在拒绝域的概率不超过 0.05，是小概率事件，根据实际推断原理，有充分理由拒绝原假设。故该减肥药有减肥效果。

我们也可以反过来，将观察结果设为临界水平，然后计算此时的犯第一类错误的概率 $P_-$，如果 $P_-$ 比 $\alpha$ 小，说明样本落入了拒绝区，就拒绝原假设。这种方法称为 $P_-$ 值法

Note

（还是上面的例题）解：

$$ \begin{align} P_-&=P\{ \overline{X} \geq 0.522 | \mu=0 \}\\ &=1-\Phi(\frac{0.522}{0.6/\sqrt{9}})=0.0045<\alpha=0.05 \end{align}\\ 故拒绝原假设 $$

大但假设，小心检验。