统计基础练习题

本章需要掌握的重点：

• 常见的统计量：
  • 样本均值：$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$
  • 样本方差：$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2$
  • k阶原点矩：$A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k$
  • k 阶中心矩：$B_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^k$
• 三个抽样分布：
  • $\chi^2$分布：n 个标准正态分布的平方和 $\sum X_i^2 \sim \chi^2(n)$
  • $t$分布：标准正态 $X$ 与 $\chi^2$ 分布 $Y$ 的组合 $\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$
  • $F$ 分布：两个自由度分别为 $m,n$ 的 $\chi^2$ 分布 $X,Y$ 的组合：$\frac{X/m}{Y/n}\sim F(m,n)$
• 单个正态总体的样本统计量的分布
  • $\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$
  • $\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$
  • $\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n)$
  • $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$
  • $ES^2 = \sigma^2$
  • $\overline{X}$ 与 $S^2$ 相互独立