随机变量的数字特征练习题

题型

利用定义与性质求期望和方差

$E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$
若 $X,Y$ 相互独立，则 $D(aX+bY+c)=a^2 D(X)+b^2D(Y)$

Tip

例题：$X,Y$ 独立且同分布，均服从 $N(0,\frac{1}{2})$，求 $\vert X-Y \vert $ 的期望和方差

Note

解：

$$ \because X,Y 独立\\ \therefore (X-Y) \sim N(0, 1)\\ $$

令 $U=X-Y$，则：

$$ \begin{align} E(|U|)&=\int_{-\infty}^{+\infty} |u| \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{u^2}{2}} \dif u\\ &=\frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{+\infty} u\cdot e^{-\frac{u^2}{2}} \dif u\\ &= \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{+\infty} (\frac{u^2}{2})^0 e^{-\frac{u^2}{2}} \dif (\frac{u^2}{2})\\ &= \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \end{align} $$

$$ D(|U|)=E(|U|^2)-[E(|U|)]^2\\ 而 E(|U|^2)=E(U^2)=D(U)+[E(U)]^2=1\\ D(|U|)=1-\frac{2}{\pi} $$

Tip

例题：$X\sim f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2+2x-1}$，求 $EX$，$DX$

Note

解：

$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} } \cdot e^{-\frac{(x-1)^2}{2\left(\sqrt{1/2}\right)^2}}\\ X\sim N(1,\frac{1}{2})\\ EX=1, DX=\frac{1}{2} $$

Tip

例题：$X\sim\pi(\lambda)$，$E[(x-1)(x-2)]=1$，求 $\lambda$

Note

解：$E(X)=\lambda$，$D(X)=\lambda$

$$ 1=EX^2-3EX+2\\ \because EX^2 = DX+(EX)^2=\lambda + \lambda^2\\ \therefore \lambda + \lambda^2 - 3 \lambda + 2 =1\\ \lambda^2-2\lambda +1=0\Rightarrow \lambda=1 $$

Tip

例题：$X\sim f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2} & 0\lt x \lt \pi\\ 0 & 其他 \end{cases}$，对 $X$ 观察 4 次，$Y$ 为 $X>\frac{\pi}{3}$ 的次数，求 $EY^2$

Note

解：$Y$ 只有两个取值，并且每次观察相互独立，故为二项分布 $Y\sim B(4,p)$

$$ p=\int_\frac{\pi}{3}^\pi \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2} \dif x = \frac{1}{2} \\ \therefore Y \sim B(4,\frac{1}{2})\\ EY = 2 \; DY=1\\ EY^2 = DY+(EY)^2=5 $$

期望与方差协方差与相关系数