随机变量的数字特征练习题
题型
利用定义与性质求期望和方差
- $E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$
- 若 $X,Y$ 相互独立,则 $D(aX+bY+c)=a^2 D(X)+b^2D(Y)$
Tip
例题:$X,Y$ 独立且同分布,均服从 $N(0,\frac{1}{2})$,求 $\vert X-Y \vert $ 的期望和方差
Note
解:
令 $U=X-Y$,则:
Tip
例题:$X\sim f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2+2x-1}$,求 $EX$,$DX$
Note
解:
Tip
例题:$X\sim\pi(\lambda)$,$E[(x-1)(x-2)]=1$,求 $\lambda$
Note
解:$E(X)=\lambda$,$D(X)=\lambda$
Tip
例题:$X\sim f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2} & 0\lt x \lt \pi\\ 0 & 其他 \end{cases}$,对 $X$ 观察 4 次,$Y$ 为 $X>\frac{\pi}{3}$ 的次数,求 $EY^2$
Note
解:$Y$ 只有两个取值,并且每次观察相互独立,故为二项分布 $Y\sim B(4,p)$