多元随机变量的数字特征

矩

✒定义

若 $E(X^k)$ 存在，则称为 $X$ 的 k 阶（原点）矩

若 $E\{ [X-E(X)]^k \}$ 存在，则称之为 $X$ 的 k 阶中心矩

期望就是一阶原点矩，方差就是二阶中心矩

若 $E(X^k Y^l)$ 存在，则称之为 $X,Y$ 的 k+l 阶混合原点矩。

若 $E\{ [X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l \}$，则称之为 $X,Y$ 的 k+l 阶混合中心矩。

多元随机变量的数字特征

设 $n$ 元随机变量 $\tilde{X}=(X_1,X_2,\cdots,X_n)^T$，若其每一分量的数学期望都存在，则称：

$$ E(\tilde{X})=(E(X_1),E(X_2),\cdots,E(X_n))^T $$

为 $n$ 元随机变量 $\tilde{X}$ 的 数学期望

设 $n$ 元随机变量 $\tilde{X}=(X_1,X_2,\cdots,X_n)^T$，若 ${\rm Cov}(X_i,Y_j$ 都存在，则称：

$$ {\rm Cov}(\tilde{X})= \begin{bmatrix} D(X_1) & {\rm Cov}(X_1,X_2) & \cdots & {\rm Cov}(X_1,X_n)\\ {\rm Cov}(X_2,X_1) & D(X_2) & \cdots & {\rm Cov}(X_2,X_n)\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ {\rm Cov}(X_n,X_1) & {\rm Cov}(X_n,X_2) & \cdots & D(X_n) \end{bmatrix} $$

为 $n$ 元随机变量 $\tilde{X}$ 的 协方差矩阵（对称非负定矩阵）

n元正态分布

🌟性质①： $n$ 元正态随机变量的子向量 $(X_{i_1}, \cdots,X_{i_k})$ 均服从 k 元正态分布

🌟性质②： $n$ 元随机变量服从正态分布 $\Leftrightarrow$ $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 的任意线性组合 $l_0+l_1X_1+l_2X_2+\cdots+l_nX_n$ 服从一元正态分布，其中 $l_i$ 不全为 0

🌟性质③： $n$ 元正态随机变量 $\tilde{X}=(X_1,X_2,\cdots,X_n)^T$，若 $Y_1,Y_2,\cdot,Y_k$ 是 $X_i$ 的线性函数，则 $(Y_1,Y_2,\cdots,Y_k)^T$ 也服从 $k$ 元正态分布。（正态变量的线性变换不变性）

🌟性质④： $n$ 元正态随机变量，$X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立 $\Leftrightarrow$ $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 两两不相关 $\Leftrightarrow$ $\tilde{x}$ 的协方差矩阵为对角矩阵