二元随机变量练习题

题型

联合、边缘、条件

Tip

例题：$(X,Y)\sim$$f(x,y)=\begin{cases} A e^{-(x+y)} & x>0,y>0\\ 0 & 其他 \end{cases}$
求：① A；② $f_X(x),f_Y(y)$；③ $Z=X+2Y$，$F_Z(z)$；④ $P\{x \lt Y\}$

Note

解：①

$$ \begin{align} 1&=A\int_0^{+\infty} e^{-x}\dif x \int_0^{+\infty} e^{-2y} \dif y\\ &=\frac{A}{2} \int_0^{+\infty} e^{-x}\dif x \int_0^{+\infty} e^{-2y} \dif (2y)\\ &=\frac{A}{2} \Rightarrow A=2 \end{align}\\ \therefore f(x,y)= \begin{cases} 2 e^{-(x+y)} & x>0,y>0\\ 0 & 其他 \end{cases} $$

②

$$ f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \dif y（沿y轴方向积分）\\ x \leq 0 时，f_X(x)=0\\ x \gt 0 时，f_X(x)= \int_0^{+\infty} 2 e^{-(x+y)} \dif y\\ =e^{-x} \int_0^{+\infty} (2y)^0 e^{-2y} \dif (2y)=e^{-x}\\ \therefore f_X(x)= \begin{cases} 0 & x \leq 0\\ e^{-x} & x\gt 0 \end{cases} $$

$$ f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \dif x （沿x轴方向积分）\\ y\leq 0 时，f_Y(y)=0\\ y\gt 0 时，f_Y(y)=\int_{0}^{+\infty} 2 e^{-(x+2y)} \dif x=2e^{-2y}\\ \therefore f_Y(y)== \begin{cases} 0 & x \leq 0\\ 2e^{-2y} & x\gt 0 \end{cases} $$

③

$$ F_Z(z)=P\{X+2Y\leq z\}\\ = \iint_{X+2Y\leq z} f(x,y) \dif \sigma（画图）\\ z \lt 0 时，F_Z(z)=0\\ z\geq 0 时，F_Z(z)=\int_0^z e^{-x} \dif x \int_0^{-\frac{1}{2}(x-2)} 2e^{-2y}\dif y\\ =\int_0^z e^{-x} (-e^{-2y})\Big\vert_0^{-\frac{1}{2}(x-z)} \dif x\\ =\int_0^z e^{-x}\dif x - ze^{-z}\\ =1-e^{-z}-ze^{-z}\\ \therefore F_Z(z)== \begin{cases} 0 & z \lt 0\\ 1-(z+1)e^{-z} & z\geq 0 \end{cases} $$

④

$$ P\{X< Y\}=\iint_{X< Y} f(x,y) \dif \sigma\\ =\int_0^{+\infty} e^{-x} \dif x \int_x^{+\infty} 2 e^{-2y} \dif y\\ =2/3 $$

Caution

注：$\Gamma(z)$ 函数：$\Gamma(z)=\int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} \dif t$，并且满足：
① $\Gamma(z)=z\Gamma(z-1)$
② $\Gamma(z)=(z-1)!$
③ $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$
这个函数十分重要，请务必记住。

min/max

Tip

例题：$P\{x\geq 0, y\geq 0\} = 3/7$，$P\{x\geq 0\}=P\{Y\geq 0\}=4/7$，求 $P\{\max(x,y)\geq 0\}$

Note

分析：可以将 $x\geq 0$ 看作事件A，将 $Y \geq 0$ 看作事件B，那么 $P(A)=P(B)=4/7$，$P(AB)=3/7$
另外，min 要用 $>,\geq$； max 要用 $< ,\leq$。所以要对题目进行转换。

解：令 $\{x\geq0\}=A$，$\{Y\geq0\}=B$，$P(A)=P(B)=4/7$，$P(AB)=3/7$，则：
$P\{\max(x,y)\geq0\}=1-P\{\max(x,y)< 0\}$$=1-P\{x< 0,y< 0\}$$=1-P(\bar{A}\cdot \bar{B})=1-P(\overline{A+B})$$=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=5/7$

Tip

$X\sim E(\lambda_1)$，$Y\sim E(\lambda_2)$，$X,Y$ 独立，$Z=\min (X,Y)$，求 $f_Z(z)$

Note

解：
1.

$$ F_X(x)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda_1 x} & x\geq 0\\ 0 & x< 0 \end{cases}\\ F_Y(y)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda_1 y} & y\geq 0\\ 0 & y< 0 \end{cases}\\ $$

$$ \begin{align} F_Z(z)&=P\{Z\leq z\}=P\{\min(X,Y)\leq z\}\\ &=1-P\{\min(X,Y)\geq z\}=1-P\{X>z,Y>z\}\\ &=1-P\{X>z\}\cdot P\{Y>z\}\\ &=1-[1-P\{X\leq z\}]\cdot[1-P\{Y\leq z\}]\\ &=1-[1-F_X(z)]\cdot[1-F_Y(z)]\\ &= \begin{cases} 0 & z< 0\\ 1-e^{-(\lambda_1+\lambda_2) z} & z\geq 0 \end{cases} \end{align} $$

$$ f_Z(z)= \begin{cases} 0 & z\leq 0\\ (\lambda_1+\lambda_2) e^{-(\lambda_1+\lambda_2)z} & z> 0\\ \end{cases}\\ \therefore Z\sim E(\lambda_1+\lambda_2) $$

题型二{:.success}：独立性

题型三{:.success}：已知 $(x,y)$ 分布，求 $z=g(x,y)$ 的分布

二元连续随机变量