二元随机变量练习题
题型
联合、边缘、条件
Tip
例题:$(X,Y)\sim$$f(x,y)=\begin{cases} A e^{-(x+y)} & x>0,y>0\\ 0 & 其他 \end{cases}$
求:① A;② $f_X(x),f_Y(y)$;③ $Z=X+2Y$,$F_Z(z)$;④ $P\{x \lt Y\}$
Note
解:①
②
③
$$ F_Z(z)=P\{X+2Y\leq z\}\\ = \iint_{X+2Y\leq z} f(x,y) \dif \sigma(画图)\\ z \lt 0 时,F_Z(z)=0\\ z\geq 0 时,F_Z(z)=\int_0^z e^{-x} \dif x \int_0^{-\frac{1}{2}(x-2)} 2e^{-2y}\dif y\\ =\int_0^z e^{-x} (-e^{-2y})\Big\vert_0^{-\frac{1}{2}(x-z)} \dif x\\ =\int_0^z e^{-x}\dif x - ze^{-z}\\ =1-e^{-z}-ze^{-z}\\ \therefore F_Z(z)== \begin{cases} 0 & z \lt 0\\ 1-(z+1)e^{-z} & z\geq 0 \end{cases} $$④
$$ P\{X< Y\}=\iint_{X< Y} f(x,y) \dif \sigma\\ =\int_0^{+\infty} e^{-x} \dif x \int_x^{+\infty} 2 e^{-2y} \dif y\\ =2/3 $$Caution
注:$\Gamma(z)$ 函数:$\Gamma(z)=\int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} \dif t$,并且满足:
① $\Gamma(z)=z\Gamma(z-1)$
② $\Gamma(z)=(z-1)!$
③ $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$
这个函数十分重要,请务必记住。
min/max
Tip
例题:$P\{x\geq 0, y\geq 0\} = 3/7$,$P\{x\geq 0\}=P\{Y\geq 0\}=4/7$,求 $P\{\max(x,y)\geq 0\}$
Note
分析:可以将 $x\geq 0$ 看作事件A,将 $Y \geq 0$ 看作事件B,那么 $P(A)=P(B)=4/7$,$P(AB)=3/7$
另外,min 要用 $>,\geq$; max 要用 $< ,\leq$。所以要对题目进行转换。
解:令 $\{x\geq0\}=A$,$\{Y\geq0\}=B$,$P(A)=P(B)=4/7$,$P(AB)=3/7$,则:
$P\{\max(x,y)\geq0\}=1-P\{\max(x,y)< 0\}$$=1-P\{x< 0,y< 0\}$$=1-P(\bar{A}\cdot \bar{B})=1-P(\overline{A+B})$$=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=5/7$
Tip
$X\sim E(\lambda_1)$,$Y\sim E(\lambda_2)$,$X,Y$ 独立,$Z=\min (X,Y)$,求 $f_Z(z)$
Note
解:
1.
3.
题型二
{:.success}:独立性
题型三
{:.success}:已知 $(x,y)$ 分布,求 $z=g(x,y)$ 的分布