二元离散随机变量

联合分布律

✒定义

若二元随机变量 $(X, Y)$ 全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称 $(X, Y)$ 是二元离散型随机变量。若 $(X, Y)$ 所有可能的取值为 $(x_i, y_j)$，则 $P(X=x_i, Y=y_j)=p_{ij}, i,j=1,2…$ 称为二元离散型随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率分布律，简称为 $(X,Y)$ 的分布律。

我们可以用如下表格来表示：

联合分布律的性质：

1. $p_{ij}>0$
2. $\sum_i\sum_j p_{ij}=1$

$$P(X=0, Y=1)=\frac{4}{10}\times \frac{6}{9}=\frac{2}{15}$$

$$P(X=1, Y=0)=\frac{6}{10}\times \frac{4}{9}=\frac{4}{15}$$

$$P(X=0, Y=1)=\frac{6}{10}\times \frac{5}{9}=\frac{5}{15}$$

边际分布

$X, Y$ 的边际分布律是：

$$ P(X=x_i)=P(X=x_i, \bigcup_{j=1}^\infty (Y=y_j))=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}\equiv p_{i\cdot} $$$$ P(Y=y_j)=P(\bigcup_{i=1}^\infty(X=x_i), Y=y_j)=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}\equiv p_{\cdot j} $$

从图中可以更清楚的看出，$P(X=x_i)$ 就是行相加，$P(Y=y_j)$ 就是列相加。因为写在表格的边儿上，所以我们称为 边际分布律 或 边缘分布律。

条件分布

对于二元离散随机变量 $X,Y$ 的联合概率分布律为：

$$ P(X=x_i, Y=y_j)=p_{ij} $$

对于固定的 $y_j$，若 $P(Y=y_j)>0$ 则称：

$$ P(X=x_i | Y=y_j)=\frac{P(X=x_i, Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{P_{ij}}{P_{\cdot j}} $$

为在 $Y=y_j$ 条件下，随机变量 $X$ 的条件分布律。

独立

为了便于对照，将二元连续随机变量的独立也写在这里。

✒定义 若满足 $F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$ ，则称 $X,Y$ 独立。

但是这种方法并不好判断。我们常用如下等价条件：

🔄等价条件

• 离散型：$X,Y$ 独立 $\Leftrightarrow$ $p_{ij} = p_{i\cdot} \times p_{\cdot j}$
• 连续型：$X,Y$ 独立 $\Leftrightarrow$ $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

我们有以下定理成立：

📚定理一： $X_1, X_2,\cdots, X_n$ 独立且均服从 $B(1,p)$，则 $X_1+\cdots+X_n\sim B(n,p)$

📚定理二： $X\sim B(n,p)$ ，$Y\sim B(n_2,p)$，则 $X+Y\sim B(n_1+n_2, p)$

📚定理三： $X\sim\pi(\lambda_1)$，$Y\sim\pi(\lambda_2)$ 两者独立，则 $X+Y\sim \pi(\lambda_1+\lambda_2)$

（待证明）

min/max

$X,Y$ 相互独立，则：

$$ P(\max(X,Y)\leq z)=P(X\leq z, Y\leq z)=P(X\leq z)P(Y\leq z) $$$$ P(\min(X,Y)\leq z)=1-P(min(X,Y)\geq z)=1-P(X\geq z)P(Y\geq z) $$

做题技巧：min 要用 $>,\geq$； max 要用 $<,\leq$