一元随机变量练习题

基础知识

• 一元连续随机变量及分布
• 一元离散随机变量及分布

题型

题型一{:.success} 随机变量函数的分布：$X$ 分布已知，求 $Y=g(x)$ 的分布（密度函数）。

解题步骤如下：

1. 写 $X$ 的密度函数
2. 写出 $Y$ 的分布函数（这里需要讨论范围）
3. 写出 $Y$ 的密度函数

由于 $x\in (0,2)$，故 $x^2+1 \in (1,5)$，可分为下面三种情况：

$$ \begin{align} F_Y(y) &= P(Y\leq y) = P(x^2+1\leq y)\\ &=P\{0 < x \leq \sqrt{y-1}\}\\ &= \int_0^{\sqrt{y-1}} 1/2 \dif x\\ &= \frac{1}{2} \sqrt{y-1}\\ \end{align} $$

$$ \therefore f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{4\sqrt{y-1}} & 1< y<5\\ 0 & 其他 \end{cases} $$